5.4 最大值与首中时的分布特性 设 \(\{B(t),t\ge0\}\) 是标准布朗运动，不妨设 \(B(0)=0\)。 定义：首次击中 \(a\) 的时间 \(\tau_a=\inf\{t:t\ge0,B(t)=a\}\)

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1. 预备理论 求解常微分方程初值问题数值解 \[ \begin{align} &\frac{dy}{dx} = f(x,y), \quad a < x < b, |y| < \infty \\ &y(a) = y_0 \end{align} \] 存在唯一性定理：若 \(f(x,y)\) 连续，对 \(y\) 满足 Lipschitz 条件，那么

1. 预备理论 根据Newton-Leibniz公式有 \(\int_a^x f(t)dt = F(x)-F(a)\)，但是绝大部分情况很难解析求解，需要数值积分。例如中点公式 \[ \int_a^b f(x)dx \approx f(\frac{a+b}{2})(b-a) \] 若 \(f(x)\in C^2[a,b]\)，则中点公式截断误差为 \[ \int_a^b f(x)d

1. 预备理论 函数插值当中我们只有几个离散的的插值节点及其函数值，在函数逼近里我们考虑的是有一个 \(f(x),x\in[a,b]\) 已知，但是希望用一组简单的基函数 \(\{\phi_0,...,\phi_n\}\) 逼近 \(f(x)\)。

1. 预备理论 假设有离散的 \(\{x_0,x_1,...,x_n\}\) 插值节点，以及对应的函数值 \(\{f(x_0),....,f(x_n)\}\)，希望用函数 \(\phi(x)\) 来近似 \(f(x)\)，使其满足插值条件 \(\phi(x_i)=f(x_i),i=0,...,n\)。一般选择多项式插值函数 \(p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_n x^n \in

5.1 布朗运动概念 定义：若一个随机过程 \(\{X(t),t\ge0\}\) 满足 \(X(t)\) 是独立增量过程； \(\forall s,t\ge0, X(t+s)-X(s)\sim {\mathcal N}(0,c^2t)\)； \(X(t)\) 关于 \(t\) 是连续函数； 则称 \(X(t)\) 是布朗运动或维纳过程。 可以验证 \(R(t_1,t_2)

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4.5 非时齐次泊松过程 定义：一个计数过程若满足： \(N(0)=0\)； 它是独立增量过程； 对充分小的 \(\Delta t>0\)，有 \(P(N(t+\Delta t)-N(t)=1) = \lambda(t) \Delta t + o(\Delta t)\)，\(P(N(t+\Delta t)-N(t)\ge 2)=o(\Delta t)\)； 则称它为具

4.1 泊松过程的定义与基本性质 定义 4.1：随机过程 \(\{N(t),t\ge0\}\) 称为时齐泊松过程，若满足下列条件： 他是一个计数过程，且 \(N(0)=0\)； （独立增量）任取 \(0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n\)，\(N(t_1),N(t_2)-N(t_1),...,N(t_n)-N(t_{n-1})\) 相互