第一章主要介绍随机过程中的基本概念。 1. 基本概念 什么是随机过程？ 定义：设 \((\Omega, \mathcal{F},P)\) 是一个概率空间，\((E,\mathcal{E})\) 是一个可测空间，\(\mathcal{T}\) 是一个指标集，\(X_{\mathcal{T} }=\{X_t,t\in{\mathcal T}\}\) 是一族定义在 \((\Omega, \m

本系列为研究生随机过程的课程笔记，主要内容包括停时、鞅论、Markov过程等，以高等概率论为基础，因此会需要部分测度相关的知识（目前为止高等概率论的专栏还在咕咕...） 参考书为 Durret 的《Probability: Theory and Examples》

舒尔补其实就是将一个矩阵变成块对角化的矩阵，便于求逆。 1. 定义 n*n 的矩阵可以写成分块矩阵形式 \[ M = \left[\begin{array}{cc}{A} & {B} \\ {C} & {D}\end{array}\right]_{n\times n} \] 若 A 是非奇异的，则 A 在 M 中的舒尔补为：\(D-CA^{-1}B\) 若 D 是

说明：本文转载自博客：理解复数域上的向量空间（第一篇），由于没有找到原作者的联系方式，所以直接搬运过来了，如有侵权请联系我，我立即删除。 线性代数进行到酉空间中的自伴算子、正规算子以及谱定理这部分内容时，会发现很多在复空间中成立的命题在实空间中却未必成立。这种情况多少让人感到有点奇怪，为什么会出现这种情况？ 复数域是包含实数域的，我们学习复数之后碰到最多的是相反的情况：原本在实数域上成

相思 红豆生南国，春来发几枝。 愿君多采撷，此物最相思。

接下来四大定理就剩下了两个：开映射定理与闭图像定理。剩下的内容相比于前面两个定理要少很多，也更简单，我们一口气讲完吧！ 1. 开映射定理 \((X_1,d_1),(X_2,d_2)\)，称 \(T:X_1\to X_2\) 为开映射，若 \(\forall G\subset X\) 为开集，都有 \(T(G)\) 在 \(X_2\) 中为开集。 NOTE：我们讲到连续映射的时候证明了一个

一致有界性原理的一个应用就是序列和算子的收敛性分析。 1. 序列收敛性 \((X,\Vert\cdot\Vert)\)，有 \(x_n,x\in X\)，称 \(x_n\) 强收敛到 \(x\)，若 \(\Vert x_n-x\Vert \to 0\)；称 \(x_n\) 弱收敛到 \(x\) 若 \(\forall f\in X'\) 都有 \(f(x_n)\to f(x)\)

Hahn-Banach定理主要是用于泛函的延拓，在较小的子空间上满足某个性质之后我们就可以将对应的泛函延拓至整个空间。而这一节要讲的一致有界性原理恰如其名，主要讨论一族有界线性算子一致有界的条件。他也是后续讨论序列弱收敛性以及泛函弱星收敛性的基础。 1. Baire范畴定理 一致有界性原理的证明需要用到Baire范畴定理（也叫Baire纲定理）。 \((X,d)\)，若 \(\bar{M}\

1. 共轭算子 赋范空间 \(X,Y\)，\(T\in B(X,Y)\)，对于任意的 \(f\in Y'\)，\(X \stackrel{T}{\longrightarrow}Y\stackrel{f}{\longrightarrow}\mathbb{K}\)，可以得到 \(f\circ T\in X'\)。因此我们可以定义映射 \[ \begin{aligned} T

前面三章讲了很多东西，但实际上都只是开胃小菜 >__<，度量空间、赋范空间、内积空间等等都是为了我们接下来要讲的四大定理做铺垫。泛函中的四大定理，即 Hahn-Banach 定理、一致有界性原理、开映射定理和闭图像定理，是整个泛函分析的基石（前面三章的内容是基石的基石）。