【随机过程2】布朗运动1 | 定义与基本性质
5.1 布朗运动概念
定义：若一个随机过程 \(\{X(t),t\ge0\}\) 满足
- \(X(t)\) 是独立增量过程；
- \(\forall s,t\ge0, X(t+s)-X(s)\sim {\mathcal N}(0,c^2t)\)；
- \(X(t)\) 关于 \(t\) 是连续函数；
则称 \(X(t)\) 是布朗运动或维纳过程。
可以验证 \(R(t_1,t_2) = {\mathbb E}[X(t_1)X(t_2)]=c^2(t_1\wedge t_2)\)，所以布朗运动是非平稳过程。
5.2 正态分布相关理论
5.2.1 柯西分布与高斯随机变量
问题 1：求 \(Z=X/Y\) 的概率分布与分布密度函数。
定理 5.1：设 \(X_1,X_2\) 是独立的均值为 \(0\)，方差为 \(1\) 的正态分布随机变量，则 \(X_1/|X_2|\) 服从 Cauchy 分布，分布密度函数为：\(f(x)=1/\pi(1+x^2), -\infty < x < \infty\)，相应的概率分布函数为 \(F(x)=1/2 + \pi^{-1}\arctan x, -\infty < x < \infty\)。
5.2.2 区域分布与互相关系数的关系
定义 \(\sin \alpha = \frac{ {\mathbb E}[XY]}{\sqrt{ {\mathbb E}[X^2]{\mathbb E}[Y^2]} }=r\)，那么 \(P(X > 0,Y > 0) = P(X < 0, Y < 0)=1/4 + \alpha / 2\pi\)，\(P(X < 0,Y > 0) = P(X > 0, Y < 0)=1/4 - \alpha / 2\pi\)。
证明：略。
5.2.3 贝叶斯定理与条件分布密度表示理论
贝叶斯定理：\(f_Y(y|X=x)=\frac{f_X(x|Y=y)f_Y(y)}{f_X(x)}\)。
该定理在讨论条件概率问题时，把需要利用分布函数讨论的问题转化为利用分布密度函数来讨论，简化了问题的讨论。
5.2.4 联合正态分布的边缘分布密度与条件分布密度
略。
5.2.5 几个基本关系式
假设 \(X,Y\) 服从均值为 0 的联合正态分布，则 \({\mathbb E}[XY] = r\sigma_1\sigma_2\)，\({\mathbb E}[X^2Y^2]={\mathbb E}[X^2]{\mathbb E}[Y^2] + 2{\mathbb E}^2[XY]\)，\({\mathbb E}[|XY|] = \frac{2\sigma_1\sigma_2}{\pi}(\cos\alpha+\sin\alpha)\)，其中 \(r=\sin\alpha, -\pi/2 < \alpha \le \pi/2\)。
证明：略。
5.2.6 反正弦率
设 \(X(t)\) 为平稳过程，且 \(X(t+\tau),X(t)\) 的联合分布服从正态分布，对 \(X(t)\) 进行非线性运算 \[ Y(t) = \begin{cases} 1, & X(t)\ge0 \\ -1, & X(t) < 0 \end{cases} \] 那么有 \({\mathbb E}[Y(t+\tau)Y(t)]=2\alpha / \pi\)。随机变量 \(X(t+\tau),X(t)\) 联合正态，那么 \(r=R(\tau)/R(0)=\sin\alpha\)，于是有 \(R_Y(\tau)= \frac{2}{\pi} \arcsin{\frac{R(\tau)}{R(0)}}\)。
5.2.7 零交叉问题
略。
5.2.8 正态分布拖尾概率估计
定理 5.2（Mill比值）：对任意的 \(x > 0\) 有 \(\frac{x}{1+x^2} e^{-x^2/2} < \int_x^\infty e^{-u^2/2}du < \frac{1}{x} e^{-x^2/2}\)。特别的，当 \(x\to\infty\) 时有 \(\int_x^\infty e^{-u^2/2}du \approx \frac{1}{x} e^{-x^2/2}\)。
5.3 布朗运动
5.3.1 有限维联合概率密度
定理 5.3：设 \(\{B(t),t\ge0\}\) 为标准的布朗运动，令 \(x_0=0,t_0=0\)，则当 \(B(0)=0\) 时，对 \(\forall 0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n\)，\((B(t_1),B(t_2),...,B(t_n))\) 的联合概率密度函数为 \(g(x_1,x_2,...,x_n; t_1,t_2,...,t_n) = \Pi_{i=1}^n p(x_i-x_{i-1}; t_i-t_{i-1})\)，其中 \(p(x;t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\exp(-x^2/2t)\)。
5.3.2 布朗运动的性质
下面考虑标准布朗运动（即取 \(c=1\)）的性质。
平移特性：对任意的 \(s > 0\)，\(B_s(t)=B(t+s)-B(s),t\ge0\) 是标准布朗运动；
伸缩性：对任意的 \(c > 0\)，\(\{\sqrt{c} B(t/c), t\ge0\}\) 是标准布朗运动；
对称性：\(\{-B(t),t\ge0\}\) 是标准布朗运动；
鞅性：略。
其余还有正态过程性质、马尔可夫性质、反射性质、时间可逆性等在后面详细解释。
5.3.3 正态过程
定义：若随机过程 \(\{X(t),t\in T\}\)，对任意 \(t_i\in T,i=1,2,...,n\) 有 \(X(t_1),...,X(t_n)\) 的联合分布为 \(n\) 维正态分布，则称 \(\{X(t),t\in T\}\) 为正态过程。
定理 5.4：设 \(\{B(t),t\ge 0\}\) 是正态过程，轨道连续，\(B(0)=0,\forall s,t>0\)，有 \({\mathbb E}B(t)=0, {\mathbb E}[B(s)B(t)]=s\wedge t\)，则 \(\{B(t),t\ge0\}\) 是布朗运动，反之亦然。
证明：充分性易证。必要性证明，验证布朗运动有关条件：1）\(\forall t, s \ge0\)，可以验证增量 \(B(t)-B(s) \sim {\mathcal N}(0,|t-s|)\) 是零均值正态随机变量；2）再验证独立增量过程，而验证两个高斯分布的独立性只需要证明他们的互相关为 0，细节略。
5.3.4 马尔可夫性
正向马尔可夫性：\(\forall t_1 < t_2 < \cdots < t_n\)，在给定 \(B(t_1),..,B(t_{n-1})\) 下，\(B(t_n)\) 的条件概率密度函数与只给定 \(B(t_{n-1})\) 下 \(B(t_n)\) 的条件概率密度相同。
反向马尔可夫性：同理。
中间关于两侧的马尔可夫性：\(\forall t_1 < t_2 < \cdots < t_n\)，在给定 \(...,B(t_{i-1}),B(t_{i+1}),...\) 下，\(B(t_i)\) 的条件概率密度函数与只给定 \(B(t_{i-1}), B(t_{i+1})\) 下 \(B(t_i)\) 的条件概率密度相同。
下面讨论 \(B(t_2)\) 关于给定 \(B(t_1),B(t_3)\) 的条件概率密度。
定理5.5：对 \(0\le t_1 < t <t_2\)，给定 \(B(t_1)=a, B(t_2)=b, B(0)=0\)，则 \(B(t)\) 的条件概率密度是一个正态密度，其均值为 \(a + (b-a)(t-t_1)/(t_2-t_1)\)，方差为 \((t_2-t)(t-t_1) / (t_2-t_1)\)
证明：由于 \(B(t)\) 为正态过程，\(\boldsymbol{b}=B(t_1),B(t),B(t_2)\) 服从联合高斯分布，其均值为 \({\boldsymbol \mu}=[0,0,0]^{\mathrm T}\)，协方差矩阵 \[ \Sigma = {\mathbb E}[{\boldsymbol b}{\boldsymbol b}^{\mathrm T}] = \begin{bmatrix} t_1 & t_1 & t_1 \\ t_1 & t & t \\ t_1 & t & t_2 \end{bmatrix} \] 直接根据高斯分布向量的条件分布即可得到。
Remark：实际上 \({\mathbb E}[B(t) | B(t_1),B(t_2)]\) 是关于 \(t\) 的线性函数。
5.3.5 反射性
反射性：对 \(a > 0\)，定义 \(\tau_a=\inf\{t: B(t)=a\}\) 表示首次击中时间，定义 \(B^{\ast}(t)=\begin{cases} B(t), & t \le \tau_a \\ 2a-B(t), & t > \tau_a \end{cases}\)，则 \(\{B^\ast(t),t\ge0\}\) 是标准布朗运动；
证明：略。
5.3.6 时间可逆性
时间可逆性：定义 \(B'(t)=\begin{cases} tB(1/t), & t > 0 \\ 0, & t=0 \end{cases}\)，则 \(\{B'(t),t\ge0\}\) 是标准布朗运动；
证明：\(B(t)\) 是正态过程，根据前面正态过程的定义，可以得到 \(tB(1/t)\) 也是正态过程。再根据定理 5.4 可以验证条件 \({\mathbb E}[B'(t)B'(s)]=s\wedge t\)，关于在 \(t=0\) 点的连续性稍复杂，省略。由此可以证明 \(B'(t)\) 是布朗运动。