这一节简单介绍一个 SDP Representablity（SDP-Rep），这个概念的提出主要是为了便于判断某个问题是否可以转化为 SDP 优化问题。 定义：集合 \(X\subseteq R^n\) 是 SDP-Rep 的，如果他可以表示为 \[ X=\{x| \text{there exist }u\in R^k \text{ such that for some } \\A_i

前面我们讲了凸优化问题、对偶原理、拉格朗日函数、KKT 条件，还从几何角度解释了强对偶性，那么这一节将从代数角度解释强对偶性，并给出 KKT 条件中的互补性条件的新的表达形式。

上一小节讲了拉格朗日函数，可以把原始问题转化为对偶问题，并且对偶问题是凸的。我们还得到了弱对偶性和强对偶性的概念，并且提到了 Slater Condition 保证凸问题的强对偶性成立，并且给出了一些几何的直观解释。那么在这一节，我们将引出著名的 KKT 条件，它给出了最优解需要满足的必要条件，是求解优化问题最优解的一个重要方式。

前面讲了凸优化问题的定义，以及一些常见的凸优化问题类型，这一章就要引入著名的拉格朗日函数和对偶问题了。通过对偶问题，我们可以将一些非凸问题转化为凸优化问题，还可以求出原问题的非平凡下界，这对复杂优化问题是很有用的。

日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。 比如买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。 又比如假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。 我们可以利用上一节讲的模糊综合评判的方法，对每一个备选方案都进行一次打分，最后取分最

前面讲了那么多关于凸集、凸函数的知识，然而都是铺垫，现在我们才来到了这门课的重头戏部分——凸优化问题！

假如我们现在设计了一种服装，想要调研一下这种服装的受欢迎程度，该怎么办呢？ 首先是怎么表示受欢迎程度呢？我们可以简单分为三个等级：受欢迎、一般欢迎、不受欢迎，由于不同的人感受可能不同，结合前面模糊集的概念，我们可以引入隶属度，比如调查后得到 50% 的人喜欢，30%一般，20%不喜欢，我们就可以取隶属度分别为 0.5，0.3，0.2。 当然这样太粗糙了，我们知道评价一个衣服的因素有很多，比

有时候函数 \(f\) 为向量，此时怎么定义凸函数呢？根据广义不等式引入。

对数凹函数，顾名思义即取完对数以后 \(\log f(x)\) 是凹函数，其应用比如在求最大后验 MAP 时，往往会对联合概率密度函数取对数。

网上很多关于主题美化的教程都是老版本 next 5.1 的，最近更新到 next 7 之后摸索了好久才找到简单有效的自定义主题方式，下面是具体的操作。