假如我们现在设计了一种服装，想要调研一下这种服装的受欢迎程度，该怎么办呢？ 首先是怎么表示受欢迎程度呢？我们可以简单分为三个等级：受欢迎、一般欢迎、不受欢迎，由于不同的人感受可能不同，结合前面模糊集的概念，我们可以引入隶属度，比如调查后得到 50% 的人喜欢，30%一般，20%不喜欢，我们就可以取隶属度分别为 0.5，0.3，0.2。 当然这样太粗糙了，我们知道评价一个衣服的因素有很多，比

有时候函数 \(f\) 为向量，此时怎么定义凸函数呢？根据广义不等式引入。

对数凹函数，顾名思义即取完对数以后 \(\log f(x)\) 是凹函数，其应用比如在求最大后验 MAP 时，往往会对联合概率密度函数取对数。

网上很多关于主题美化的教程都是老版本 next 5.1 的，最近更新到 next 7 之后摸索了好久才找到简单有效的自定义主题方式，下面是具体的操作。

现在想要对 \(n\) 个目标 \(U=\{x_1,...,x_n\}\) 分类，并且每个对象都有多个指标，也即 \(x_i=\{x_{i1},...,x_{im}\}\)。 模糊聚类通常包括三个步骤： 建立模糊矩阵 建立模糊等价矩阵 进行聚类

1. 拟凸函数定义 拟凸函数(quasiconvex function)的定义为：若 \(\text{dom}f\) 为凸集，且对任意的 \(\alpha\)，其下水平集 \[ S_\alpha = \{x\in\text{dom}f | f(x)\le\alpha\} \] 都是凸集，则 \(f\) 为拟凸函数。

1. 共轭函数 1.1 定义 一个函数 \(f\) 的共轭函数(conjugate function) 定义为 \[ f^*(y)=\sup_{x\in\text{dom}f}(y^Tx-f(x)) \]

1. 保凸变换 前面提到过一次保凸变换，前面针对的是集合，凸集经过一定的保凸变换，映射后的集合仍然是凸集。这里复习一下 任意个凸集的交集 仿射变换 透视变换 分式线性函数 而这里要讲的是对函数经过操作以后，得到的仍然是凸函数。

1. 模糊关系 定义：模糊关系 \(R\) 的隶属函数 \(\mu_R:U\times V\to[0,1]\)，其中 \(\mu_R(x,y)\) 表示 \((x,y)\) 具有关系 \(R\) 的程度 Remarks：实际上模糊关系 \(R\) 就是定义在一个笛卡尔积的论域 \(U\times V\) 上的模糊关系，与之前介绍的普通的模糊关系并无太大差别。

扩展原理实际上是将普通集合中的函数映射的概念扩展到了模糊集合上。