模糊数学笔记 4：模糊关系

1. 模糊关系

定义：模糊关系 \(R\) 的隶属函数 \(\mu_R:U\times V\to[0,1]\)，其中 \(\mu_R(x,y)\) 表示 \((x,y)\) 具有关系 \(R\) 的程度

Remarks：实际上模糊关系 \(R\) 就是定义在一个笛卡尔积的论域 \(U\times V\) 上的模糊关系，与之前介绍的普通的模糊关系并无太大差别。

基本运算定义为：

• 并：\(\boldsymbol{\mu}_{R \cup S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \vee \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\)
• 交：\(\boldsymbol{\mu}_{R \cap S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \wedge \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\)
• 补：\(\mu_\bar{R}(x,y)=1-\mu_R(x,y)\)
• 包含：\(\boldsymbol{R} \subseteq \boldsymbol{S} \Rightarrow \boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \leq \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\)
• 相等：\(\boldsymbol{R} = \boldsymbol{S} \Rightarrow \boldsymbol{\mu}_{R}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = \boldsymbol{\mu}_{S}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})\)

一些模糊关系有：

• 恒等模糊关系：\(R(x,y)=\mathbb{I}_{x=y}\)
• 零模糊关系：\(O(x,y)=0\)
• 全称模糊关系：\(E(x,y)=1\)

2. 模糊矩阵

2.1 定义

对于有限论域 \(U,V\)，模糊矩阵的定义很容易可以获得 \(R_{ij}=\mu_R(x_i,y_j)\)

当 \(R\) 的对角元素全部为 1 时，称为模糊自反矩阵

模糊矩阵对应于集合的运算定义为：

• 并：\(\boldsymbol{R} \cup \boldsymbol{S} \Leftrightarrow \boldsymbol{R} \cup \boldsymbol{S}=\left(\boldsymbol{r}_{i j} \vee \boldsymbol{s}_{i j}\right)\)
• 交：\(\boldsymbol{R} \cap \boldsymbol{S} \Leftrightarrow \boldsymbol{R} \cup \boldsymbol{S}=\left(\boldsymbol{r}_{i j} \wedge \boldsymbol{s}_{i j}\right)\)
• 补：\(R^c=(1-r_{ij})\)
• 包含：\(\boldsymbol{R} \subseteq \boldsymbol{S} \Leftrightarrow\left(\boldsymbol{r}_{i j}\right) \leq\left(\boldsymbol{s}_{i j}\right)\)
• 相等：\(\boldsymbol{R} = \boldsymbol{S} \Leftrightarrow\left(\boldsymbol{r}_{i j}\right) =\left(\boldsymbol{s}_{i j}\right)\)

2.2 运算性质

2.3 截矩阵

截矩阵的定义为 \(R_\lambda=(r_{ij}(\lambda))\)，其中 \(r_{ij}(\lambda)=\mathbb{I}_{r_{ij}\ge\lambda}\)

Remarks：截矩阵的定义对应着截集的概念，截集得到的是普通集合，响应的截矩阵也是布尔矩阵，完全没有不确定度。

2.4 模糊关系合成

转置：略

模糊乘积：设 \(Q=(q_{ij})_{n\times m},R=(r_{ij})_{m\times t}\)，定义 \(S=QR\in\mathcal{F}_{n\times t}\)，有 \(S_{ik}=\vee_{j=1}^m(q_{ij}\wedge r_{jk})\)

Remarks：模糊乘积实际上表示了两个模糊关系的复合，即 \(Q\in\mathcal{F}(U\times V),R\in\mathcal{F}(V\times W)\)，最后合成了模糊关系 \(S\in\mathcal{F}(U\times W)\)。从公式上来看，模糊矩阵的乘积跟普通矩阵的乘积很像，只不过乘法换成了 \(\wedge\)，加法换成了 \(\vee\)。

模糊关系的合成具有以下性质：

3. 模糊关系性质

3.1 自反性、对称性、传递性

就像普通集合的关系一样，模糊集合有三个重要性质：自反性、对称性、传递性。

自反性：若 \(\forall x\in U,\mu_R(x,x)=1\)，则称 \(R\) 满足自反性，相应的有模糊矩阵 \(I\subseteq R\)

定理 1：若 \(A\) 为自反矩阵，则有 \[ I\subseteq A \subseteq A^2 \subseteq \cdots \subseteq A^n \subseteq \cdots \] 对称性：若 \(\forall x,y\in U,\mu_R(x,y)=\mu_R(y,x)\)，则称 \(R\) 满足对称性，相应的有模糊矩阵 \(R^T=R\)

传递性：\(\mu_R(x,z)\ge\vee_y (\mu_R(x,y)\wedge\mu_R(y,z))\)，则称 \(R\) 满足传递性，相应的有模糊矩阵 \(R^2\subseteq R\)

定理 2：若 \(Q\) 为传递矩阵，则有 \[ Q \supseteq Q^{2} \supseteq Q^{3} \supseteq \cdots \supseteq Q^{\mathbf{n}-1} \supseteq Q^{\mathbf{n}} \supseteq \cdots \]

3.2 模糊相似关系与等价关系

模糊相似关系：\(R\in F(U\times U)\)，满足自反性和对称性 \(\Longrightarrow I\subseteq R\subseteq R^2\subseteq \cdots\subseteq R^n\subseteq \cdots\)

模糊等价关系：\(R\in F(U\times U)\)，满足自反性、对称性和传递性 \(\Longrightarrow R=R^2=\cdots=R^n=\cdots\)

定理：\(R\) 为等价关系 \(\iff R_\lambda\) 为等价关系 \(\forall \lambda\in[0,1]\)

Proof：若 \(R_\lambda\) 为等价关系，则意味着 \(\forall i,j,k\)，若 \(r_{ij}(\lambda)=1,r_{jk}(\lambda)=1 \Longrightarrow r_{ik}(\lambda)=1\)。因此对于模糊矩阵来说，应有 \(r_{ij}\ge\lambda,r_{jk}\ge\lambda \Longrightarrow r_{ik}\ge\lambda\)。在此基础上易证充分必要性。

Remarks：这个定理将模糊等价关系转化为普通等价关系，而普通等价关系可以很容易分类。

3.3 对称闭包与传递闭包

对称闭包：设 \(A,\hat{A},B\in\mathcal{F}(U\times U)\)，若 \(A\subseteq\hat{A},A^T\subseteq\hat{A}\)，且对任意包含 \(A\) 的对称关系 \(B\)，都有 \(\hat{A}\subseteq B\)，则 \(\hat{A}\) 为 \(A\) 的对称闭包，记为 \(s(A)=\hat{A}\)。

实际上对称闭包就是包含 \(A\) 的最小的对称关系，很容易的有 \(s(A)=A\cup A^T\)

传递闭包：\(A\subseteq\hat{A},A^2\subseteq\hat{A}\)，且任意包含 \(A\) 的传递关系 \(B\) 都有 \(\hat{A}\subseteq B\)，则 \(\hat{A}\) 为 \(A\) 的传递闭包，记为 \(t(A)=\hat{A}\)。

传递闭包定理 1：\(t(A)=A\cup A^2 \cup\cdots\cup A^n\cup\cdots=\bigcup_{k=1}^\infty A^k\)

传递闭包定理 2：\(t(A)=\bigcup_{k=1}^n A^k\) （可以使用鸽巢原理，证明 \(A^{n+1}\subseteq A^m,m\le n\)）

传递闭包定理 3：相似矩阵 \(R\in U_{n\times n}\) 的传递闭包是等价矩阵，且 \(t(R)=R^n\)

传递闭包定理 4：相似矩阵 \(R\in U_{n\times n}\)，则 \(\forall m\ge n,t(R)=R^m\)

传递闭包定理 5：相似矩阵 \(R\in U_{n\times n}\)，则 \(\exist k\le n,t(R)=R^k\)

Remarks：

• 定理 2 证明了传递闭包在实际中是可计算的
• 定理 3-5 中对相似矩阵求传递闭包就得到了等价矩阵，对后面的模糊据类很有用，因为模糊等价矩阵可以与普通等价矩阵联系起来，而若想进行分类，则必须依托于等价关系。