红豆
相思
红豆生南国，春来发几枝。 愿君多采撷，此物最相思。
泛函分析笔记8：开映射定理与闭图像定理
接下来四大定理就剩下了两个：开映射定理与闭图像定理。剩下的内容相比于前面两个定理要少很多，也更简单，我们一口气讲完吧！
1. 开映射定理
\((X_1,d_1),(X_2,d_2)\)，称 \(T:X_1\to X_2\)
为开映射，若 \(\forall
G\subset X\) 为开集，都有 \(T(G)\) 在 \(X_2\) 中为开集。
NOTE：我们讲到连续映射的时候证明了一个
泛函分析笔记7：弱收敛与弱星收敛
一致有界性原理的一个应用就是序列和算子的收敛性分析。
1. 序列收敛性
\((X,\Vert\cdot\Vert)\)，有 \(x_n,x\in X\)，称 \(x_n\) 强收敛到 \(x\)，若 \(\Vert
x_n-x\Vert \to 0\)；称 \(x_n\)
弱收敛到 \(x\) 若
\(\forall f\in X'\) 都有 \(f(x_n)\to f(x)\)
泛函分析笔记6：一致有界性原理
Hahn-Banach定理主要是用于泛函的延拓，在较小的子空间上满足某个性质之后我们就可以将对应的泛函延拓至整个空间。而这一节要讲的一致有界性原理恰如其名，主要讨论一族有界线性算子一致有界的条件。他也是后续讨论序列弱收敛性以及泛函弱星收敛性的基础。
1. Baire范畴定理
一致有界性原理的证明需要用到Baire范畴定理（也叫Baire纲定理）。
\((X,d)\)，若 \(\bar{M}\
泛函分析笔记5：Hahn-Banach定理的应用
1. 共轭算子
赋范空间 \(X,Y\)，\(T\in B(X,Y)\)，对于任意的 \(f\in Y'\)，\(X
\stackrel{T}{\longrightarrow}Y\stackrel{f}{\longrightarrow}\mathbb{K}\)，可以得到
\(f\circ T\in
X'\)。因此我们可以定义映射 \[
\begin{aligned}
T
泛函分析笔记4：Hahn-Banach定理
前面三章讲了很多东西，但实际上都只是开胃小菜
>__<，度量空间、赋范空间、内积空间等等都是为了我们接下来要讲的四大定理做铺垫。泛函中的四大定理，即
Hahn-Banach
定理、一致有界性原理、开映射定理和闭图像定理，是整个泛函分析的基石（前面三章的内容是基石的基石）。
泛函分析笔记3：内积空间
我们前面讲了距离空间、赋范空间，距离空间赋予了两个点之间的距离度量，范数赋予了每个点自身的长度度量，而范数则可以导出距离。本章要讲的内积可以看成是更加统一的定义，因为从内积我们可以导出范数，进而导出距离。因此内积空间是一个“更小”的空间，在此基础上结合完备性我们引出了
Hilbert 空间，后续我们的研究也大多集中在 Hilbert 空间上。
1. 内积空间
定义：\(X\) 为
\(\m