现在想要对 \(n\) 个目标 \(U=\{x_1,...,x_n\}\) 分类，并且每个对象都有多个指标，也即 \(x_i=\{x_{i1},...,x_{im}\}\)。 模糊聚类通常包括三个步骤： 建立模糊矩阵 建立模糊等价矩阵 进行聚类

1. 拟凸函数定义 拟凸函数(quasiconvex function)的定义为：若 \(\text{dom}f\) 为凸集，且对任意的 \(\alpha\)，其下水平集 \[ S_\alpha = \{x\in\text{dom}f | f(x)\le\alpha\} \] 都是凸集，则 \(f\) 为拟凸函数。

1. 共轭函数 1.1 定义 一个函数 \(f\) 的共轭函数(conjugate function) 定义为 \[ f^*(y)=\sup_{x\in\text{dom}f}(y^Tx-f(x)) \]

1. 保凸变换 前面提到过一次保凸变换，前面针对的是集合，凸集经过一定的保凸变换，映射后的集合仍然是凸集。这里复习一下 任意个凸集的交集 仿射变换 透视变换 分式线性函数 而这里要讲的是对函数经过操作以后，得到的仍然是凸函数。

1. 模糊关系 定义：模糊关系 \(R\) 的隶属函数 \(\mu_R:U\times V\to[0,1]\)，其中 \(\mu_R(x,y)\) 表示 \((x,y)\) 具有关系 \(R\) 的程度 Remarks：实际上模糊关系 \(R\) 就是定义在一个笛卡尔积的论域 \(U\times V\) 上的模糊关系，与之前介绍的普通的模糊关系并无太大差别。

扩展原理实际上是将普通集合中的函数映射的概念扩展到了模糊集合上。

1. 贴近度 给定 \(A,B,C\in \mathcal{F}(U)\)，\(\sigma(*,*)\) 满足以下几个条件时，被称为贴近度 \(\sigma(A,A)=1\) \(\sigma(A,B)=\sigma(B,A)\) 若 \(A\subset B\subset C\)，则 \(\sigma(A,B)\ge\sigma(A,C),\sigma(B,C)\ge\sig

1. 凸函数 1.1 凸函数定义 凸函数(convex function)的定义： \[ f(\theta x+(1-\theta)y)\le\theta f(x)+(1-\theta)f(y),\quad \forall x,y\in\text{dom}f,\theta\in[0,1] \] 函数 \(f\) 的扩展函数(extended-value extension) \(\ti

传统集合中元素要么属于集合，要么不属于集合。但假如我们给出一个“所有年轻人组成的集合”，那么这个时候年龄多大才算年轻人呢？30岁算年轻人嘛？有的人觉得算，有的人觉得不算，这是一个比较模糊的界定，所以就引入了模糊集的概念。

将普通的不等式 \(1\le2\) 推广到更加复杂的情况，例如两个向量 \(x\le y\) 该如何定义？这就是广义不等式(generalized inequality)