模糊数学笔记 3：扩展原理

扩展原理实际上是将普通集合中的函数映射的概念扩展到了模糊集合上。

1. 映射的象

1.1 定义

对于普通集合，设 \(f:X\to Y,A\subseteq X\)，\(f(A)=\{f(x)|x\in A\}\) 称为 \(A\) 的象

映射 \(f\) 诱导了一个从 \(P(X)\) 到 \(P(Y)\) 的新映射

1.2 性质

该映射有以下性质：

• \(A\subseteq B\Longrightarrow f(A)\subseteq f(B)\)
• \(f(\bigcup_{t\in T}A_t)=\bigcup_{t\in T}f(A_t)\)
• \(f(\bigcap_{t\in T}A_t)=\bigcap_{t\in T}f(A_t)\)

2. 扩展原理

2.1 定义

对于模糊集合，设 \(f:X\to Y,A\in \mathcal{F}(X)\)，定义 \(f(A)\in\mathcal{F}(Y)\) 为 \[ \forall y\in Y, \quad (f(A))(y)=\vee_{f(x)=y}A(x) \] 映射 \(f\) 诱导了一个从 \(\mathcal{F}(X)\) 到 \(\mathcal{F}(Y)\) 的新映射

2.2 性质

该映射有以下性质：

• \(A,B\in \mathcal{F}(X),A\subseteq B\Longrightarrow f(A)\subseteq f(B)\)
• \(A_t\in\mathcal{F}(X),f(\bigcup_{t\in T}A_t)=\bigcup_{t\in T}f(A_t)\)
• \(A_t\in\mathcal{F}(X),f(\bigcap_{t\in T}A_t)=\bigcap_{t\in T}f(A_t)\)
• \(A\in\mathcal{F}(X),\alpha\in[0,1]\)，则 \(f(A_{\bar\alpha})=(f(A))_\bar\alpha\)
• \(A\in\mathcal{F}(X),\alpha\in[0,1]\)，则 \(f(A_{\alpha})\subseteq(f(A))_\alpha\)

Remarks：从 \(X\) 到 \(Y\) 的映射，只是对元素“换了个名称”，并没有改变对应的隶属度，因此映射 \(f\) 与对模糊集的操作比如截集是可以交换顺序的