Second-Order Cone Programming(SOCP) 二次锥规划

二次锥规划是凸优化的一部分，可以应用内点法快速求解，相比于半正定规划更有效。

1. 二阶锥

1.1 二阶锥定义

在此之前，先给出二阶锥的定义。

在 \(k\) 维空间中二阶锥 (Second-order cone) 的定义为 \[ \mathcal{C}_{k}=\left\{\left[\begin{array}{l} {u} \\ {t} \end{array}\right] | u \in \mathbb{R}^{k-1}, t \in \mathbb{R},\|u\| \leq t\right\} \notag \] 其也被称为 quadratic，ice-cream，Lorentz cone。

1.2 二阶锥约束

在此基础上，二阶锥约束即为 \[ \|A x+b\| \leq c^{T} x+d \Longleftrightarrow\left[\begin{array}{c} {A} \\ {c^{T}} \end{array}\right] x+\left[\begin{array}{l} {b} \\ {d} \end{array}\right] \in \mathcal{C}_{k} \] 其中 \(x\in \mathbb{R}^{n}, A\in\mathbb{R}^{(k-1)\times n}, b\in\mathbb{R}^{k-1},c\in\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}\)。实际上是对 \(x\) 进行了仿射变换，由于仿射变换不改变凹凸性，因此二阶锥也是凸锥。

2. 优化问题建模

优化目标如下，其中 \(f \in \mathbb{R}^{n}, A_{i} \in \mathbb{R}^{n_{i} \times n}, b_{i} \in \mathbb{R}^{n_{i}}, c_{i} \in \mathbb{R}^{n}, d_{i} \in \mathbb{R}, F \in \mathbb{R}^{p \times n},\) and \(g \in \mathbb{R}^{p}, x \in \mathbb{R}^{n}\) \[ \begin{align} \text{minize}\quad& f^{T} x \notag\\ \text{subject to}\quad& {\left\|A_{i} x+b_{i}\right\|_{2} \leq c_{i}^{T} x+d_{i}, \quad i=1, \ldots, m} \notag\\ &{F x=g}\notag \end{align}\notag \] 上述问题被称为二次锥规划是因为其约束，要求仿射函数 \((Ax+b,c^T x+d)\) 为 \(\mathbb{R}^{k+1}\) 空间中的二阶锥。

3. 类似问题转化

一些其他优化问题也可以转化为 SOCP，例如

3.1 二次规划

考虑二次约束 \[ x^{T} A^{T} A x+b^{T} x+c \leq 0 \notag \] 可以等价转化为 SOC 约束 \[ \left\|\begin{array}{c}\left(1+b^{T} x+c\right) / 2 \\ Ax\end{array}\right\|_{2} \leq\left(1-b^{T} x-c\right) / 2 \notag \]

3.2 随机线性规划

问题模型为 \[ \begin{align} \text{minize}\quad& c^{T} x \notag\\ \text{subject to}\quad& \mathbb{P}\left(a_{i}^{T} x \leq b_{i}\right) \geq p, \quad i=1, \ldots, m \notag \end{align}\notag \] 问题转化可参考维基百科

4. 问题求解

二阶锥规划可以应用内点法快速求解，且比半正定规划(semidefinite programming)更有效。

Matlab 有专门的凸优化工具包，下载地址在这里，安装教程在官网上有。使用方法如下，只需要修改优化目标和约束条件即可

m = 20; n = 10; p = 4;
A = randn(m,n); b = randn(m,1);
C = randn(p,n); d = randn(p,1); e = rand;
cvx_begin
    variable x(n)
    minimize( norm( A * x - b, 2 ) )
    subject to
        C * x == d
        norm( x, Inf ) <= e
cvx_end