【随机过程2】布朗运动2 | 推广

5.4 最大值与首中时的分布特性

设 $\{B(t),t\ge 0\}$ 是标准布朗运动，不妨设 $B(0)=0$。

定义：首次击中 $a$ 的时间 ${\tau }_a=inf\{t:t\ge 0,B(t)=a\}$

定义：对 $\mathrm{\forall }t>0,M(t)=\underset{0\le u\le t}{max}B(u)$ 表示 $[0,t]$ 上的最大值。

当 $a>0$ 时，显然存在等价关系 $\{{\tau }_a\le t\}=\{M(t)\ge a\}$，因此有 $P({\tau }_a\le t)=P(M(t)\ge a)$。

Remark：事实上，这与泊松过程中定义的 $\{S_n\le t\}=\{N(t)\ge n\}$ 类似。主要差别在于泊松过程中讨论离散点情况，这里讨论连续情况。

定理 5.6：对任意 $$，$$ 和 $$ 的分布密度函数分别为 $$ $$ 的 Laplace 变换为 $$。

证明：$$，由于 $$，因此可以得到 $$。于是 $$，$$，证毕。

利用上述定理可以到如下结果：

1. $$ 几乎处处有限，即 $$；
2. $$。

证明：1）$$；2）$$，两边对 $$ 求导得到 $$，令 $$ 即可得到 $$，证毕。

栗子 5.1：

定理 5.7：设 $$ 为标准布朗运动，$$ 有 $$

证明：根据反射性定义 $$，则有 $$，又由于 $$，于是有 $$ 推论 5.7.1：设 $$ 为标准布朗运动，$$ 有 $$.

推论 5.7.2：$$，$$ 和 $$ 的联合分布密度函数为 $$.

5.5 过零点的反正弦定理

$$，记事件 $$，利用全概率公式有 $$ 利用布朗运动的连续性和对称性有 $$ 于是有 $$ 这个积分的直接求解非常困难，为求此积分，采用另外的方法，也即反正弦定理。

定理 5.8（反正弦定理）：设 $$ 是标准布朗运动，记 $$，则 $$，且当 $$ 时，有 $$.

Remark：这说明布朗运动处处连续但处处不可导。

5.6 布朗运动的推广

5.6.1 带吸收点的布朗运动

设 $$，为求 $$ 的分布，不妨设 $$

（1）当 $$ 时，$$；

（2）当 $$ 时，$$；

（3）当 $$ 时，

5.6.2 原点反射的布朗运动

5.6.3 几何布朗运动

令 $$，称它为几何布朗运动，取 $$ 的矩母函数 $$，则 $$，因此 $$，$$.

栗子 5.2：考虑股票市场收益率，$$ 分别表示最初价位和最终价位，$$.

5.6.4 布朗运动的积分

令 $$，根据正态分布的性质知道他是正态过程，$$，$$，有 $$

5.6.5 布朗运动的形式导数

考虑增量比，固定 $$，令 $$，

5.7 布朗桥与经验分布

5.7.1 布朗桥的基本概念与性质

定义：$$ 为标准布朗运动，不妨设 $$，令 $$，则称 $$ 为布朗桥。

根据其定义，可以得到基本性质如下：

1. $$；（？？）
2. $$；
3. $$；
4. 设 $$，$$；
5. $$ 的分布与 $$ 在 $$ 下的条件分布相同。

5.7.2 经验分布与布朗桥的关系

工程统计中，经常独立抽取多个样本 $$ 来统计某参量的统计特性，定义经验分布 $$。假设 $$ 独立同分布，且 $$，则有：

1. $$
2. $$
3. 任意给定 $$，利用强大数定理得到 任意给定 $$，利用强大数定理得到$$
4. 任意给定 $$，利用中心极限定理得到 $$ 时有（依分布收敛）

$$

证明：（2）$$，展开化简就可以得到性质 2.

（4）记 $$，容易证明 $$，特别的，根据中心极限定理，当 $$ 时有 $$，其中 $$。

引理 5.1：如果 $$，则 $$。

证明：代入展开化简即可得到。

Remark：根据上述引理和 $$ 的性质可知，当 $$ 时，即 $$ 服从 $$ 上的均匀分布时，$$ 的极限分别 $$ 是布朗桥。

事实上，对于一般的连续分布函数 $$，$$ 的极限分布 $$ 也可以用布朗桥表示。为此，首先给出如下引理。

引理 5.2：随机变量 $$ 的分布函数 $$ 连续，则 $$ 是一个 $$ 均匀分布的随机变量。

证明：$$，定义 $$，因此有 $$，从而有 $$，证毕。

基于引理 5.2，可以定义 $$，利用布朗桥性质有 $$ 与 $$ 有相同的分布特性，从而可以推得 $$ 的极限分布为以 $$ 为参变量的布朗桥。

5.7.3 经验分布的误差估计

略。

5.8 带漂移的布朗运动

定义：设 $$ 为标准布朗运动，记 $$，其中 $$ 为常数，称 $$ 为带漂移的布朗运动。

5.8.1 移出区间的概率计算

定理 5.9：对任意 $$，定义停时 $$，则 $$.

5.8.2 首中时问题

5.9 布朗运动的轨道性质

轨道处处连续，几乎处处不可导。

定理：标准布朗运动 $$，对任意的 $$，有 $$ 证明：略。