【随机过程2】泊松过程1 | 定义与基本性质

4.1 泊松过程的定义与基本性质

定义 4.1：随机过程 \(\{N(t),t\ge0\}\) 称为时齐泊松过程，若满足下列条件：

1. 他是一个计数过程，且 \(N(0)=0\)；
2. （独立增量）任取 \(0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n\)，\(N(t_1),N(t_2)-N(t_1),...,N(t_n)-N(t_{n-1})\) 相互独立；
3. （平稳增量）\(\forall s,t\ge0,n\ge0\)，\(P(N(s+t)-N(s)=n) = P(N(t)=n)\)；
4. 对任意 \(t>0\) 和充分小的 \(\Delta t>0\)，有 \(P(N(t+\Delta t)-N(t)=1) = \lambda \Delta t + o(\Delta t)\)，\(P(N(t+\Delta t)-N(t)\ge 2)=o(\Delta t)\)；

其中 \(\lambda>0\) 称为强度常数，\(o(\Delta t)\) 为高阶无穷小。

定义 4.2：计数过程 \(\{N(t),t\ge0\}\)，被称为参数为 \(\lambda\) 的时齐泊松过程，若满足如下条件：

1. \(N(0)=0\)；
2. 它是独立增量过程；
3. \(\forall s,t\ge0,N(s+t)-N(s)\) 是参数为 \(\lambda t\) 的泊松分布，即 \(P(N(t+s)-N(s)=k) = \frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{-\lambda t}\)。

两种定义是等价的。

基本性质：

1. 均值 \({\mathbb E}[N(t)] = \lambda t\)；
2. 方差 \(\text{var}(N(t)) = {\mathbb E}[(N(t)-\lambda t)^2] = \lambda t\)；
3. 特征函数 \(\phi_{N(t)}(x) = {\mathbb E}[\exp(-j N(t)x)] = \exp(-\lambda t e^{jx})\)；
4. \({\mathbb E}[N(t)^2] = (\lambda t)^2 + \lambda t\)；
5. 自相关函数 \(R(t+\tau,t) = {\mathbb E}[N(t+\tau)N(t)] = (\lambda t)^2 + \lambda t + \lambda^2 t\tau,(\tau>0)\)（非平稳过程）

栗子 4.1：\(\{N(t), t\ge0\}\) 是参数为 \(\lambda\) 的时齐泊松过程，\(S_0=0,S_n\) 为第 \(n\) 个事件发生的时刻，则 \(N(t)\) 关于 \(\{S_n,n\ge0\}\) 不是停时，但是 \(N(t)+1\) 关于 \(\{S_n,n\ge0\}\) 是停时。

证明：\(\{N(t)=n\} \iff \{S_n\le t < S_{n+1} \}=\{S_n\le t \} - \{S_{n+1}\le t \}\)，因此 \(\{N(t)=n\}\) 可以由 \(\{S_0,...,S_{n+1} \}\) 构成的事件表示，因此 \(N(t)+1\) 关于 \(\{S_n,n\ge0\}\) 是停时。

4.2 泊松过程与指数分布的关系

\(N(t),t\ge0\) 是计数过程，令 \(S_0=0,S_n\) 表示第 \(n\) 个事件发生的时刻，\(X_n=S_n-S_{n-1}\) 表示第 \(n\) 个与第 \(n-1\) 个事件之间的间隔，于是有 \(S_n=\inf\{t:N(t)=n \},n\ge1\)。相应的 \(N(t)\) 可以表示为 \(N(t)=\sum_{n=1}^{\infty} I_{[0,t]}(S_n)\)。

\(P(S_n \le t) = P(N(t)\ge n) = 1-e^{-\lambda t} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(\lambda t)^k}{k!}\)，特别当 \(n=1\) 时，有 \(P(S_1\le t) = P(X_1\le t) = 1-e^{-\lambda t}\)，即 \(X_1\sim E(\lambda)\) 是参数为 \(\lambda\) 的指数分布。同样的可以得到 \(X_n(n\ge2)\) 也服从指数分布，均值为 \(1/\lambda\)，方差为 \(1/\lambda^2\)。

定理 4.1：计数过程是泊松过程的充要条件是 \(\{X_n,n\ge1\}\) 是独立的同指数分布。

证明：略。

4.3 到达时间的条件分布

4.3.1 到达时间的条件分布

定理 4.2：设 \(N(t),t\ge0\) 是泊松过程，则对 \(\forall 0< s < t\) 有 \(P(X_1\le s | N(t)=1) = s/t\)。

证明：\(P(X_1\le s | N(t)=1) = P(X_1\le s, N(t)=1) / P(N(t)=1) = P(N(s)=1, N(t)-N(s)=0) / P(N(t)=1)\)。

定理 4.3：设 \(N(t),t\ge0\) 是泊松过程，则对 \(\forall 0< s < t,k\le n\) 有 \(P(S_k \le s | N(t)=n) = \sum_{l=k}^n \frac{n!}{l!(n-l)!}(\frac{s}{t})^l (1-\frac{s}{t})^{n-l}\)。特别当 \(k=n\) 时，有 \(P(S_n\le s | N(t)=n) = (\frac{s}{t})^n\)。

证明：略。

4.3.2 顺序统计量

\(Y_1,...,Y_n\) 是 \(n\) 个随机变量，如果 \(Y_{(k)}\) 是 \(Y_1,...,Y_n\) 中第 \(k\) 个最小的随机变量，我们称 \(Y_{(1)},...,Y_{(n)}\) 是关于 \(Y_1,...,Y_n\) 的顺序统计量。如果 \(Y_1,...,Y_n\) 是独立同分布的连续随机变量，其概率密度分布为 \(f(y)\)，则 \(Y_{(1)},...,Y_{(n)}\) 的联合分布概率密度函数为 \[ f(y_1,...,y_n) = n! \Pi_{k=1}^n f(y_k), ~ y_1 < y_2 < \cdots < y_n \] 特别的，当 \(Y_1,...,Y_n\) 为 \((0,t)\) 上独立的均匀分布随机变量时，相应的顺序统计量 \(Y_{(1)},...,Y_{(n)}\) 的联合分布概率密度函数为 \[ f(y_1,...,y_n) = n! / t^n, ~ 0< y_1 < y_2 < \cdots < y_n < t \] 定理 4.4：设 \(N(t),t\ge0\) 为泊松过程，则在已给 \(N(t)=n\) 时事件相继发生的时间 \(S_1,...,S_n\) 的条件概率密度为 \[ f(t_1,t_2,...,t_n) = \begin{cases}n!/t^n, & 0< t_1 < t_2 < \cdots < t_n \\ 0, & others \end{cases} \] 证明：对任取的 \(0=t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n < t_{n+1}=t\)，取 \(h_0=h_{n+1}=0\) 及充分小的 \(h_i\)，则 \[ \begin{aligned} &P(t_i < S_i \le t_i+h_i, 1\le i\le n | N(t)=n) \\ =& \frac{P(N(t_i+h_i)-N(t_i)=1,1\le i\le n, ~ N(t_{j+1})-N(t_j+h_j)=0, 1\le j\le n)}{P(N(t)=n)} \\ =& \frac{n!}{t^n} h_1 h_2 \cdots h_n \end{aligned} \] 取极限即可得证。

Remark：上述定理表明，若非负函数 \(g(x_1,...,x_n)\) 是关于 \(x_i, i=1,...,n\) 的对称函数，即对任意一种排列模式 \(\phi\)，有 \(g(x_1,...,x_n) = g(x_{\phi(1)}, x_{\phi(2)},..., x_{\phi(n)})\)（也就是函数值与各分量的顺序无关），则在概率分布的意义上下列等式成立 \[ g(S_1,...,S_n|N(t)=n) \overset{d}{=} g(Y_{(1)},...,Y_{(n)}) = g(Y_1,...,Y_n) \] 其中 \(Y_1,...,Y_n\) 为 \((0,t)\) 上独立的均匀分布随机变量。

栗子 4.2：设某工地有一工程任务，工人到达工地遵照参数为 \(\lambda\) 的泊松流，求在时刻 \(t\) 工人完成的总的工程量的期望值。

解：设第 \(i\) 个工人到达工地的时刻为 \(S_i\)，在 \([0,t]\) 内工人完成的总工程量为 \(S(t)=\sum_{i=1}^{N(t)}(t-S_i)\)。有 \({\mathbb E}[S(t) | N(t)=n] = nt - {\mathbb E}[\sum_{i=1}^n S_i | N(t)=n]=nt - {\mathbb E}[\sum_{j=1}^n Y_j | N(t)=n]=nt/2\)，于是 \({\mathbb E}[S(t)] = {\mathbb E}[{\mathbb E}[S(t) | N(t)=n]] = \lambda t^2/2\).

定理 4.5：设 \(N(t),t\ge0\) 是参数为 \(\lambda\) 的泊松过程，\(S_k,k\ge1\) 为到达时刻，则对任意的 \([0,+\infty)\) 上可积函数 \(f\) 有 \({\mathbb E}[\sum_{n=1}^{\infty} f(S_n)] = \lambda\int_0^\infty f(s)ds\).

证明：当 \(t\ge0\) 时，有 \(\{S_n\le t\}=\{N(t)\ge n\}\)，因此有 \(P(S_n\le t)=P(N(t)\ge n) = \sum_{j=n}^\infty \frac{(\lambda t)^j}{j!} e^{-\lambda t}\)，求导得到 \(S_n\) 的概率密度为 \(f_{S_n}(t)=\lambda \frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!} e^{-\lambda t}I_{\{t\ge0\}}\)，因此 \({\mathbb E}[f(S_n)] = \lambda \int_0^\infty f(s)\frac{(\lambda s)^{n-1}}{(n-1)!} e^{-\lambda s} ds\)，再对 \(n\) 求和即可得证。

栗子 4.3：题干同上面的栗子 4.2.

解：定义 \(f(s)=I_{[0,t]}(s)(t-s)\)，则 \(S(t)=\sum_{i=1}^{\infty} f(s_i)\)，利用定理 4.5 结论即可得到 \({\mathbb E}[S(t)] = \lambda t^2 /2\)。

4.4 泊松过程的分流

定理 4.6：设 \(N(t),t\ge0\) 是参数为 \(\lambda\) 的泊松过程，到达事件的类型取决于它到达的时间。如果某到达时间是 \(s>0\)，则它属于类型 1 的概率为 \(P(s)\)，输于类型 2 的概率为 \(1-P(s)\)。假设 \(N_m(t),(m=1,2)\) 表示 \((0,t]\) 内到达的类型 \(m\) 的事件数，则 \(N_1(t)\) 和 \(N_2(t)\) 是两个独立的泊松变量，相应的均值分别为 \(\lambda pt\) 和 \(\lambda(1-p)t\)，其中 \(p=\frac{1}{t}\int_0^t P(s) ds\)。

证明：\(P(N_1(t)=k, N_2(t)=l) = P(N_1(t)=k, N_2(t)=l | N(t)=k+l) P(N(t)=k+l)\)，考虑发生在 \((0,t]\) 的事件，如果事件在时刻 \(s\) 发生，由于其在 \((0,t]\) 服从均匀分布，那么该事件是类型 1 的概率为 \(p=\frac{1}{t}\int_0^t P(s)ds\)。

另外由于这些事件相互独立，因此 \(P(N_1(t)=k, N_2(t)=l | N(t)=k+l)=\tbinom{k+l}{k}p^k(1-p)^l\)。证毕。

Remark：如果 \(P(s)\) 与 \(s\) 无关，那么分流之后将得到两个新的泊松流，否则不是泊松流。