转载 | Woodbury 恒等式
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在数学（特别是线性代数）中，Woodbury矩阵恒等式是以Max A.Woodbury命名的，它 可以通过对原矩阵的逆进行秩k校正来计算某个矩阵的秩k校正的逆。这个公式的另一个名字是矩阵逆引理，谢尔曼-莫里森-伍德伯里（Sherman–Morrison–Woodbury formula）公式或只是伍德伯里公式。然而，在伍德伯里发现之前，这一等式出现在其他文献中。
1. 伍德伯里矩阵恒等式
\[ \left(A+UCV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1} \]
其中\(A\)、\(U\)、 \(C\) 和 \(V\) 都表示适形尺寸的矩阵。具体来说， \(A\) 的大小为 \(n \times n\)， \(U\) 为 \(n \times k\)， \(C\) 为 \(k \times k\) \(V\) 为 \(k \times n\)。
2. 扩展
不失一般性，可用单位矩阵替换矩阵 \(A\) 和 \(C\)：
\[ \left(I+UV\right)^{-1}=I-U\left(I+VU\right)^{-1}V \] 这里 \(U=A^{-1}X, V = C Y\)。
这个等式本身可以看作是两个简单等式的组合，即等式 \[ (I+P)^{-1}=I-(I+P)^{-1}P=I-P(I+P)^{-1} \] 和所谓的 push-through 等式 \[ (I+UV)^{-1}U=U(I+VU)^{-1} \]
的结合。
3. 特殊情况
当 \(V, U\) 是向量时，伍德伯里恒等式退化为谢尔曼-莫里森公式，在标量情况下，它（简化版）只是： \[ {\frac {1}{1+uv}}=1-{\frac {uv}{1+uv}} \] 如果 \(p = q\) 和 \(U=V=I_p\) 是单位矩阵，那么 \[ \begin{aligned} \left({A}+{B}\right)^{-1} &= A^{-1}-A^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1} \\ &= {A}^{-1}-{A}^{-1}\left({I}+{B}{A}^{-1}\right)^{-1}{B}{A}^{-1}. \end{aligned} \] 继续合并上述方程最右边的项，就可以得到一下恒等式： \[ \left({A}+{B}\right)^{-1}={A}^{-1}-\left({A}+{A}{B}^{-1}{A}\right)^{-1} \] 此等式的另一个有用的形式是： \[ \left({A}-{B}\right)^{-1}={A}^{-1}+{A}^{-1}{B}\left({A}-{B}\right)^{-1} \] 它有一个递归结构： \[ \left({A}-{B}\right)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left({A}^{-1}{B}\right)^{k}{A}^{-1} \] 这种形式可用于微扰展开式，其中\(B\) 是 \(A\) 的微扰。
4. 推广
二项式逆定理（Binomial Inverse Theorem） 如果 \(A,U,B,V\) 分别是 \(p\times p,p\times q, q\times q, q\times p\) 的矩阵，那么: \[ \left(A+UBV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}UB\left(B+BVA^{-1}UB\right)^{-1}BVA^{-1} \] 前提是 \(A\) 和 \(B+BVA^{-1}UB\) 是非奇异的。后者的非奇异性要求 \(B^{-1}\) 存在，因为它等于 \(B(I+VA＝1ub)\) ，并且后者的秩不能超过 \(B\) 的秩。由于 \(B\) 是可逆的，所以在右手边的附加量逆的两边的两个 \(B\) 项可以被 \((B^{-1})^{-1}\) 替换，从而得到原始的Woodbury恒等式: \[ (A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I+BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1} \] 在某些情况下，\(A\) 是有可能是奇异的。
5. 延伸
公式可以通过检查 \(A+UCV\) 乘以伍德伯里恒等式右侧的所谓逆得到恒等式矩阵来证明： \[ \begin{aligned} & \left(A+UCV\right)\left[A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right] \\ =& \left\{I-U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}+\left\{UCVA^{-1}-UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\} \\ =& \left\{I+UCVA^{-1}\right\}-\left\{U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}+UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\} \\ =& UCVA^{-1}-\left(U+UCVA^{-1}U\right)\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1} \\ =& UCVA^{-1}-UC \left( C^{-1} + VA^{-1}U \right) \left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1} VA^{-1} + UCVA^{-1}-UCVA^{-1} \left({A}+{B}\right)^{-1} \\ =& A^{-1}-A^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1} \\ =& {A}^{-1}-{A}^{-1}\left({I}+{B}{A}^{-1}\right)^{-1}{B}{A}^{-1}. \end{aligned} \]