【随机过程（数学系）】基本概念
第一章主要介绍随机过程中的基本概念。
1. 基本概念
什么是随机过程？
定义：设 \((\Omega, \mathcal{F},P)\) 是一个概率空间，\((E,\mathcal{E})\) 是一个可测空间，\(\mathcal{T}\) 是一个指标集，\(X_{\mathcal{T} }=\{X_t,t\in{\mathcal T}\}\) 是一族定义在 \((\Omega, \mathcal{F},P)\) 上，取值于 \((E,\mathcal{E})\) 中的随机变量，称 \(X_T\) 为（E-值）随机过程。对每个 \(\omega\in\Omega\)，\(X_T(\omega)=\{X_t(\omega),t\in T\}\) 称为随机过程的一个实现，或者样本轨道，或者样本函数。
注：随机过程实际上是一个二元函数 \(X(t,\omega)\)，因此这里的 \(\omega\) 所属的样本空间 \(\Omega\) 包含了所有时刻 \({\mathcal T}\) 的所有可能事件，而不是只针对某个时刻随机变量 \(X_t\) 的样本空间。
定义：设 \(X_T\) 是一个 \(E\)-值随机过程，对任意 \(\Lambda=\{t_1,\cdots,t_n\}\subset T\)，称 \(\mu_\Lambda(B_\Lambda) = P((X_{t_1},\cdots,X_{t_n})\in B_\Lambda), B_\Lambda\in{\mathcal E}^\Lambda\) 为 \(X_T\) 的一个有限维分布。称 \(\{\mu_\Lambda, \Lambda\Subset T\}\) 为 \(X_T\) 的有限维分布族。
注：这里相当于是取了 \(X_T\) 在一个下标集子集（一般取至多可数集）上的限制，这么做一半是为了从连续时间随机过程转到离散时间，可能便于处理。
命题 1.1.1：\(\{\mu_\Lambda,\Lambda\Subset T\}\) 是相容的，也就是说对于 \(\Lambda_1\subset\Lambda_2\Subset T\)，有 \(\mu_{\Lambda_2}(B_{\Lambda_1}\times E^{\Lambda_2\backslash \Lambda_1})=\mu_{\Lambda_2}(B_{\Lambda_1}).\)
证明：略。
定义：设 \(X_T,Y_T\) 是两个 \(E\) 值随机过程
- 若 \(X_T,Y_T\) 有相同的有限维分布族，则称 \(Y_T\) 是 \(X_T\) 的一个版本；
- 若 \(P(X_t=Y_t)=1,\forall t\in T\)，则称 \(Y_T\) 是 \(X_T\) 的一个修正；
- 若 \(P(X_t=Y_t,\forall t\in T)=1\)，则称 \(Y_T\) 是 \(X_T\) 的一个不可区别；
注：\((3)\Rightarrow(2)\Rightarrow(1)\)。
2. 可测性
定义：设 \(X_T\) 是定义在 \((\Omega, \mathcal{F},P)\) 上取值于 \((E,\mathcal{E})\) 中的随机过程，若 \(X(t,\omega):([0,+\infty)\times\Omega, {\mathcal B}_{[0,+\infty)}\times{\mathcal F}) \to (E,{\mathcal E})\) 是可测的，则称过程 \(X_T\) 是可测的。
定义：设 \(\{ {\mathcal F}_t,t\in T\}(T\subset {\mathbb R}_+ \})\) 是 \({\mathcal F}\) 的一族单调上升子 \(\sigma\) 代数（即 $st_s_t $，此时也称 \(\{ {\mathcal F}_t,t\in T\}\) 为 \({\mathcal F}\) 的一个子 \(\sigma\) 域流），\(X_T\) 是 \(E\) 值随机过程，称 \(X_T\) 是 \(\{ {\mathcal F}_t,t\in T\}\) 适应的，若 \(\forall t\in T, X_t:(\Omega,{\mathcal F}_t)\to(E,{\mathcal E})\) 可测（简单来说即 \(X_t\) 是 \({\mathcal F}_t\) 可测的）。若 \(\forall t\in T,X(s,\omega):([0,t)\times\Omega, {\mathcal B}_{[0,t)}\times{\mathcal F}_t) \to (E,{\mathcal E})\) 可测，则称 \(X_T\) 循序可测。
命题 1.2.1：设 \(X_T=\{X_t,t\ge0\}\) 是实值随机过程，关于域流 \(\{ {\mathcal F}_t, t\ge0\}\) 适应，若 \(X_T\) 是右连续的，则它一定是循序可测的。
3. 可分性
定义：设 \(X_T=\{X_t,t\ge0\}\) 是一个实值随机过程，\(Q\subset [0,+\infty)\) 可数稠密，若 \(\forall \omega\)，\(\{(t,X_t(\omega)), t\ge0\}\subset\{(r,X_r(\omega)), r\in Q \}^-\)（\(A^-\) 表示 \(A\) 的闭包），则称 \(X_T\) 关于 \(Q\) 可分。\(Q\) 称为一个可分集，若存在可数稠密 \(Q\subset [0,+\infty)\) 使 \(X_T\) 关于 \(Q\) 可分，则称 \(X_T\) 可分。
注：可分性用的比较多的大概是把原来的连续指标集 \(T\) 转化成可数指标集 \(Q\)，便于证明。
命题 1.3.1：若实值随机过程 \(X_T=\{X_t,t\ge0\}\) 可分，则 \(\forall c\)，\(\{X_t\ge c, t\ge0\}\in {\mathcal F}\)。
证明：利用可分性，将其表示为可数个集合的交集。
定理 1.3.2：任一实值随机过程必有可分修正。
4. 停时
定义：设 \((\Omega, \mathcal{F},P)\) 是一个概率空间，\(\{ {\mathcal F}_t,t\in T\}\) 是 \({\mathcal F}\) 的一个上升子 \(\sigma\) 域流，\(T\subset {\mathbb R}_+\) 是一个时间参数集，\(\tau\) 是从 \(\Omega\) 到 \(T\) 中的映射，若 \(\{\tau\le t\}\in{\mathcal F}_t,\forall t\in T\)，则称 \(\tau\) （关于 \(\{ {\mathcal F}_t,t\in T\}\)）是一个停时。若 \(\{\tau< t\}\in{\mathcal F}_t,\forall t\in T\)，则称 \(\tau\) （关于 \(\{ {\mathcal F}_t,t\in T\}\)）是一个宽停时。
注：引用网上对于停时的直观解释：\(\{\tau\le t\}\in{\mathcal F}_t\) 意味着到 \(t\) 时刻的信息足够判断是否在 \(t\) 时刻或 \(t\) 之前停下来。
性质 1.4.1：
- 若 \(\tau,\sigma\) 是两个停时，则 \(\tau \vee\sigma, \tau\wedge\sigma,\tau+\sigma\) 也是停时；
- 若 \(\{\tau_n,n\ge1\}\) 是一列宽停时，则 \(\sup_n \tau_n,\inf_n \tau_n, \liminf \tau_n,\limsup \tau_n\) 也是宽停时；
- 若 \(\{\tau_n,n\ge1\}\) 是一列停时，则 \(\sup_n \tau_n\) 也是停时；
- \(\tau\) 是 \(\{ {\mathcal F}_t,t\ge0\}\) 停时 \(\iff\) \(\tau\) 关于域流 \({\mathcal F}_{t+}\triangleq \cap_{s>t}{\mathcal F}_s,t\in T\) 是停时；
- 若 \(\tau\) 是宽停时，则它是一列停时，\(\tau_n\) 的递减极限，即 \(\tau_n \downarrow \tau\)；
- 若 \(T={\mathbb Z_+}\text{ or }{\mathbb N}\)（可数），则 \(\tau\) 是停时 \(\iff\) \(\{\tau=t\}\in {\mathcal F}_t,\forall t\in T\)。
证明：略
定义：设 \(\tau\) 是 \({\mathcal F}_t\) 停时，定义 \({\mathcal F}_\tau=\{A\in{\mathcal F}, A\cap \{\tau\le t\}\in {\mathcal F}_t,\forall t\in T \}\)，则 \({\mathcal F}_\tau\) 是停时。
定理：设 \(\tau\) 是 \({\mathcal F}_t\) 停时，\(X_t\) 是 \({\mathcal F}_t\) 适应的，则
- \(\tau\) 是 \({\mathcal F}_\tau\) 可测的；
- 若 \(T={\mathbb Z}_+\text{ or }{\mathbb N}\)，则 \(X_\tau\) 是 \({\mathcal F}_\tau\) 可测的；
- 若 \(T=[0,+\infty)\) 且 \(\{X_t,t\ge0\}\) 是关于 \(\{ {\mathcal F}_t,t\ge0\}\) 循序可测，则 \(X_\tau\) 是 \({\mathcal F}_\tau\) 可测的。
证明：略。
接下来定义某个时间首次发生的时间作为首中时，实际上很多情况下首中时就是一种停时，他在很多问题中都会出现，比如赌博前决定赢1毛钱就收手，首次发生“赢1毛钱”这个事件的时刻就是一个停时。
定义：\(\{X_t,t\ge0\},(E,{\mathcal E}),B\in{\mathcal E}\)，定义首中时 \(\tau_B=\inf\{t:X_t(\omega)\in B\}\)
定理 1.4.2：
- 若 \(T={\mathbb Z}_+\)，则 \(\forall B\in{\mathcal E}\)，\(\tau_B\) 是停时；
- 若 \((E,{\mathcal E})\) 是距离可测空间，\(T={\mathbb R}_+\)，\(X_t\) 适应， \(B\) 是开集，若 \(X_t\) 是关于 \(t\) 右连续的，则 \(\tau_B\) 是宽停时；
- 若 \((E,{\mathcal E})\) 是距离可测空间，\(T={\mathbb R}_+\)，\(X_t\) 适应， \(B\) 是闭集，若 \(X_t\) 是关于 \(t\) 连续的，则 \(\tau_B\) 是停时。
证明：略。
注1：若 \(\{ {\mathcal F}_t\}\) 右连续（即 \({\mathcal F}_{t+}={\mathcal F}_t,t\ge0\)）则\(B\)无论开、闭，\(\tau_B\) 都是停时。
注2：这里为什么会有开集/闭集的区别？是怎么跟停时/宽停时的定义联系在一起的？以及为什么会对 \(X_t\) 的连续性有要求？
注：实际上我们常用的域流是自然 \(\sigma\) 域流，即 \({\mathcal F}^X_t=\sigma\{X_s:s\le t\}\)。