舒尔补

舒尔补其实就是将一个矩阵变成块对角化的矩阵，便于求逆。

1. 定义

n*n 的矩阵可以写成分块矩阵形式 \[ M = \left[\begin{array}{cc}{A} & {B} \\ {C} & {D}\end{array}\right]_{n\times n} \]

• 若 A 是非奇异的，则 A 在 M 中的舒尔补为：\(D-CA^{-1}B\)
• 若 D 是非奇异的，则 D 在 M 中的舒尔补为：\(A-BD^{-1}C\)
• 只要记住字母顺序 DCAB、ABDC 都是在 M 中顺时针排列的

2. 推导

若 A 非奇异，有 \[ \left[\begin{array}{cc}{I} & {0} \\ {-C A^{-1}} & {I}\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}{A} & {B} \\ {C} & {D}\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc}{I} & {-A^{-1} B} \\ {0} & {I}\end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc}{A} & {0} \\ {0} & {D-C A^{-1} B}\end{array}\right] \] 可得到 \[ \left|\begin{array}{cc}{A} & {B} \\ {C} & {D}\end{array}\right|= \left|\begin{array}{cc}{A} & {0} \\ {0} & {D-C A^{-1} B}\end{array}\right|= |A||D-CA^{-1}B| \] 此时 \[ M 非奇异 \Leftrightarrow D-CA^{-1}B 非奇异 \]

3. 性质

记矩阵 \(A<0\) 表示 A 负定，则对于矩阵 M 有以下性质 \[ M < 0 \\ \iff A<0, D-C A^{-1} B<0 \\ \iff D<0, A-BD^{-1}C<0 \]

逆矩阵 \[ \left[\begin{array}{cc}{A} & {B} \\ {C} & {D}\end{array}\right]^{-1} = \left[\begin{array}{cc}{(A-BD^{-1}C)^{-1}} & {X} \\ {Y} & {(D-CA^{-1}B)^{-1}}\end{array}\right] \]