泛函分析笔记8：开映射定理与闭图像定理

接下来四大定理就剩下了两个：开映射定理与闭图像定理。剩下的内容相比于前面两个定理要少很多，也更简单，我们一口气讲完吧！

1. 开映射定理

\((X_1,d_1),(X_2,d_2)\)，称 \(T:X_1\to X_2\) 为开映射，若 \(\forall G\subset X\) 为开集，都有 \(T(G)\) 在 \(X_2\) 中为开集。

NOTE：我们讲到连续映射的时候证明了一个定理，即 \(T\) 为连续映射 \(\iff \forall G\subset X_2\) 为开集，那么 \(T^{-1}(G)=\{x\in X_1, Tx\in G\}\) 是 \(X_1\) 中的开集。注意这与开映射不同，开映射是正向的，连续映射是反向的。

在给出开映射定理之前我们需要先准备几条引理。

引理：设 \(X\) 为赋范空间，\(\lambda\in\mathbb{K},\lambda\ne0\)

• 若 \(x_0\in X,r>0\)，则 \(\lambda B(x_0,r) = B(\lambda x_0,|\lambda|r)\)；
• 若 \(M\subset X\)，则 \(\overline{\lambda M}=\lambda \overline{M}\)；
• 若 \(M\subset X\)，则 \((\lambda M)^\circ=\lambda M^\circ\)。

证明：只证第3条，若 \(x\in (\lambda M)^\circ\)，那么存在 \(r>0，B(x,r)\in \lambda M\)，也即 \(\frac{1}{\lambda} B(x,r)\in M\)，根据第1条结论，也即 \(B(x/\lambda,r/|\lambda|)\in M\)，因此 \(x/\lambda\in M^\circ\)，所以有 \((\lambda M)^\circ\subset\lambda M^\circ\)。反过来若 \(x\in\lambda M^\circ\)，即 \(x/\lambda\in M^\circ\)，类的的可以得到 \(\lambda M^\circ\subset(\lambda M)^\circ.\) 证毕。

引理：\(X,Y\) 为 Banach 空间，\(T\in B(X,Y)\) 为满射，则 \(T(B_X(0,1))\) 包含一个以 \(0\) 为中心的开球，即存在 \(\delta>0\)，\(B_Y(0,\delta)\subset T(B_X(0,1)).\)

证明：这个引理看起来简单，证明还挺复杂的。我们记 \(B_n=B_X(0,1/2^n)\)。

首先证明 \(\overline{T(B_1)}\) 包含某个开球。考虑到 \(\bigcup_{n=1}^\infty nT(B_1)=Y\)，由于 \(Y\) 为 Banach 空间，也可以表示为 \(\bigcup_{n=1}^\infty n\overline{T(B_1)}=Y\)，根据 Baire 范畴定理，一定存在 \(n_0\ge1\) 使得 \(n_0\overline{T(B_1)}\) 有内点，即存在 \(y\in Y,\delta>0\) 使得 \(B(y,\delta)\subset n_0\overline{T(B_1)}\)，记 \(B(y_0,\delta_0)=B(y/n_0,\delta/n_0)\subset \overline{T(B_1)}\)。

接下来证明 \(B(0,\delta_0)\subset \overline{T(B_0)}\)。对任意 \(y\in B(0,\delta_0)\)，有 \(y_0+y\in B(y_0,\delta_0)\)，所以存在 \(u_n,v_n\in B_1\) 分别有 \(Tu_n\to y_0,Tv_n\to y_0+y\)，此时 \(v_n-u_n\in B_0\)，并且 \(T(v_n-u_n)\to y\)，因此 \(y\in \overline{T(B_0)}\)。

最后证明 \(B(0,\delta_0/2)\subset T(B_0)\)。已有 \(B(0,\delta_0/2^n)\subset \overline{T(B_n)}\)，任取 \(y\in B(0,\delta_0/2)\)，由于 \(B(0,\delta_0/2)\subset \overline{T(B_1)}\)，因此存在 \(x_1\in B_1\) 使得 \(\Vert y-Tx_1\Vert < \delta_0/2^2\)。因此 \(y-Tx_1\in B(0,\delta_0/2^2)\)，又由于 \(B(0,\delta_0/2^2)\subset \overline{T(B_2)}\)，因此存在 \(x_2\in B_2\) 使得 \(\Vert y-Tx_1-Tx_2\Vert < \delta_0/2^3\)。依此类推，对任意的 \(n\ge1\)，可以找到 \(x_n\in B_n\)，使得 \[ \Vert y-Tx_1-Tx_2-\cdots-Tx_n\Vert < \frac{\delta_0}{2^{n+1}} \] 若令 \(s_n=x_1+\cdots+x_n\)，则有 \(s_n\) 为柯西列，假设 \(s_n\to s\in X\)，则可以验证 \(y=Ts\)。因为 \(\Vert s\Vert\le \sum_{n=1}^\infty \Vert x_n\Vert<1\)，因此 \(s\in B_0\)，所以 \(y\in T(B_0)\)，故 \(B(0,\delta_0/2)\subset T(B_0)\)。证毕。

开映射定理：\(X,Y\) 为 Banach 空间，\(T\in B(X,Y)\) 为满射，则 \(T\) 一定是开映射。

证明：由前面的引理很容易证明，略。

推论：\(X,Y\) 为 Banach 空间，\(T\in B(X,Y)\) 为满射，特别地，若 \(T\) 为一一映射，我们有 \(T^{-1}\in B(Y,X)\)（即逆映射也是有界的）。

证明：由于 \(T\) 为开映射且为一一映射，因此 \(T^{-1}\) 为连续的，因此 \(T^{-1}\in B(Y,X)\)。

推论：\((X,\Vert\cdot\Vert_1),(X,\Vert \cdot\Vert_2)\) 均为 Bananch 空间，若存在常数 \(\alpha>0\) 使得 \(\Vert x\Vert_1\le \alpha\Vert x\Vert_2,\forall x\in X\)，则存在 \(\beta>0\) 使得 \(\Vert x\Vert_2\le \beta\Vert x\Vert_1,\forall x\in X\)，即 \(\Vert\cdot\Vert_1\) 与 \(\Vert\cdot\Vert_2\) 为等价范数。

证明：考虑 \(T:(X,\Vert\cdot\Vert_2)\to(X,\Vert \cdot\Vert_1)\)，有 \(T:x\mapsto x\)。根据条件可以知道 \(T\) 为有界线性算子，并且 \(T\) 为一一映射。因此 \(T^{-1}\) 也是有界线性算子，\(\Vert x\Vert_2=\Vert T^{-1}x\Vert_2\le \Vert T^{-1}\Vert\Vert x\Vert_1,\forall x\in X\)。证毕。

2. 闭图像定理

设 \(X,Y\) 为赋范空间，令 \(Z=X\times Y=\{(x,y): x\in X,y\in Y \}\)，定义 \(\Vert(x,y)\Vert=\Vert x\Vert_X+\Vert y\Vert_Y\)，可以验证 \(\Vert\cdot\Vert\) 为 \(Z\) 上的范数。若 \(X,Y\) 为 Banach 空间，则 \(Z\) 也为 Banach 空间。

设 \(X,Y\) 为赋范空间，\(D(A)\) 为 \(X\) 中的线性子空间，\(A:D(A)\to Y\) 为线性算子，称 \(A\) 为闭算子，若 \(G_A = \{(x,Ax)\in X\times Y:x\in D(A) \}\) 为闭集。

命题：有界线性算子 \(\Rightarrow\) 闭算子。

证明：有界线性算子 \(A\)，任意 \((x,Ax)\in G_A\)，存在 \(x_n\to x\)，假设 \((x_n,Ax_n)\to (x,y)\)，由于 \(A\) 连续，因此 \(Ax_n\to Ax\)，因此 \(y=Ax\)，即 \((x,y)\in G\)，因此 \(G_A\) 为闭集。证毕。

例子 1(闭算子 \(\nRightarrow\) 有界线性算子)：考虑求导算子，\(X=Y=C[0,1], \Vert x\Vert_\infty=\max_{0\le t\le1}|x(t)|\)。\(D(A)=C^1[0,1]\)，\(A:x\mapsto x'\) 为线性算子，考虑 \(x_n(t)=t^n, \Vert x\Vert_\infty=1\)，有 \(\Vert Ax_n\Vert=n\)，因此 \(A\) 无界，但是 \(A\) 为闭算子。

证明：假设 \((x_n,x_n')\to (x,y)\)，即 \(x_n\rightrightarrows x,x_n'\rightrightarrows y\)，现证明 \(y=x'\)。由于 \(x_n' \rightrightarrows y\) 一致收敛，积分与极限可以换序，对于 \(t\in[0,1]\) 有 \[ \begin{aligned} \int_0^t y(s)ds &= \int_0^t \lim_{n\to\infty} x_n'(s)ds=\lim_{n\to\infty}\int_0^t x_n'(s)ds \\ &=\lim_{n\to\infty} x_n(t)-x_n(0) = x(t)-x(0) \end{aligned} \] 由于 \(y\in C[0,1]\)，因此 \(\int_0^t y(s)ds\) 为连续可导函数，因此 \(x\in C^1[0,1]=D(A)\)，并且有 \(x'=y\)，这说明 \((x,y)=(x,x')\in G_A\)，从而 \(A\) 为闭算子。

NOTE：闭算子的定义域 \(D(A)\) 不一定是闭集，比如上面的求导算子。

例子 2(有界、不闭算子)：\(X\) 为赋范空间，\(X_0\subsetneq X\) 为线性子空间，\(X_0\) 不闭。算子 \(A:X_0\to X(x\mapsto x)\) 为线性有界算子。但是对于 \(y\in \bar{X}\backslash X_0\)，存在 \(y_n\in X_0\) 使得 \((y_n,Ay_n)\to (y,y)\notin G_A\)，因此 \(A\) 不是闭算子。

闭图像定理：\(X,Y\) 为 Banach 空间，\(D(A)\) 为 \(X\) 的线性子空间，\(A:D(A)\to Y\) 为闭算子。若 \(D(A)\) 为 \(X\) 的闭线性子空间，则 \(A\) 有界。

证明：证明算子有界性可以想到一致有界性原理，但是这里并没有说 \(D(A)\) 可分，也没有说 \(X\) 自反，因此一致有界性原理行不通。那么又可以联想到前面开映射定理，若有界算子 \(T\) 为开映射，同时又是一一映射，那么 \(T^{-1}\) 也是有界算子。因此我们构造 \(P:G_A\to D(A)((x,Ax)\mapsto x)\)，其中 \(G_A\) 为 Banach 空间，并且 \(P\) 为有界线性算子，为满射、一一映射，因此 \(P^{-1}:D(A)\to G_A(x\mapsto (x,Ax))\) 也是有界算子，进而 \(A\) 也有界。

推论：\(X,Y\) 为 Banach 空间，\(D(A)=X\)，若 \(A:X\to Y\) 为闭算子，则 \(A\in B(X,Y).\)

NOTE：如果想直接证明 \(A\in B(X,Y)\) 需要什么条件？\(\forall x_n\in X\), 设 \(x_n\to x\)，则 1）\(Ax_n\) 收敛；2）收敛极限为 \(Ax\)。但如果我们有 \(A\) 为闭算子的条件，那么不需要证明 \(Ax_n\) 收敛，可以直接假设 \(Ax_n\) 收敛到某 \(y\)，只需要证明 \(y=Ax\) 即可。

这是因为我们已经假设了 \(X,Y\) 均为 Banach 空间，因此 \(X\times Y\) 也一定是 Banach 空间，所以一定有 \((x_n,Ax_n)\) 收敛到某 \((x,y)\)，因此 \(Ax_n\) 也一定收敛。

例子 3：\(H\) 为 Hilbert 空间，\(A:H\to H, B:H\to H\) 均为线性算子，并且满足 \(\forall x,y\in H\)，\(\langle Ax,y\rangle=\langle x,By\rangle\)，则 \(A,B\) 均有界。

证明：\(\langle Ax_n,y\rangle=\langle x_n,By\rangle\to\langle x,By\rangle=\langle Ax,y\rangle\)，由于 \(y\) 任取，因此 \(Ax_n\to Ax\)，所以 \(A\) 为闭算子，因此 \(A\) 有界。证毕。