泛函分析笔记7：弱收敛与弱星收敛

一致有界性原理的一个应用就是序列和算子的收敛性分析。

1. 序列收敛性

\((X,\Vert\cdot\Vert)\)，有 \(x_n,x\in X\)，称 \(x_n\) 强收敛到 \(x\)，若 \(\Vert x_n-x\Vert \to 0\)；称 \(x_n\) 弱收敛到 \(x\) 若 \(\forall f\in X'\) 都有 \(f(x_n)\to f(x)\)，记为 \(x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x.\)

关于弱收敛有以下几条性质：

• 若 \(x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x, x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} y\)，则 \(x=y\)；
• 若 \(x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x\)，则存在 \(c\ge0, \Vert x_n\Vert \le c.\)

证明：仅证第二条。这个性质说明 \(x_n\) 有界，因此容易想到需要用一致有界性原理证明，但是该原理说明的是算子的一致有界，这里是元素 \(x_n\) 有界，因此又可以想到上一篇讲到的典范映射 \(J:X\to X''\) 从元素映射到算子。因此这里考虑 \(X'\) 上的线性泛函 \(g_n= J(x_n):X'\to \mathbb{R}\)，有 \(g_n(f)=f(x_n),\forall f\in X'.\) 于是有 \(f(x_n)\to f(x)\)，因而固定任一 \(f\)，都有 \(\sup_n g_n(f) < \infty\)，同时由于 \(X'\) 总为 Banach 空间，利用一致有界性原理有 \(\sup_n \Vert g_n\Vert =\sup_n \Vert x_n\Vert < \infty\)。证毕。

定理：\((X,\Vert\cdot\Vert)\)，有 \(x_n,x\in X\)，则 \(x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x\) 当且仅当：

1. 存在 \(c\ge0,\Vert x_n\Vert\le c\)；
2. 并且存在 \(M\subset X',\overline{\text{span}M}=X'\)，对 \(\forall f\in M, f(x_n)\to f(x).\)（此时 \(M\) 称为完全集）

NOTE：该定理简化了弱收敛的判断条件，只需要在 \(X'\) 的一个子集上判断函数值是否收敛。

证明：\("\Longrightarrow"\) 易证；

\("\Longleftarrow"\)，首先考虑 \(\forall f\in \text{span}M\)，容易得到 \(f(x_n)\to f(x)\)。然后对 \(\forall g\in X'\)，那么存在 \(f_m\in\text{span}M\) 使得 \(\Vert f_m-g\Vert \le 1/m\)，因此 \[ \begin{align} |g(x_n)-g(x)|&\le |g(x_n)-f_m(x_n)|+|f_m(x_n)-f_m(x)|+|f_m(x)-g(x)| \\ &\le \frac{1}{m}(\Vert x_n\Vert+\Vert x\Vert)+|f_m(x_n)-f_m(x)| \to 0(m,n\to\infty) \end{align} \] 证毕。

例子 1：考虑 \(X=\ell^p(1<p<\infty)\)，有 \((\ell^p)'=\ell^q, 1/p+1/q=1.\) 考虑线性泛函 \(f_y(x)=\sum_i y_ix_i,y\in \ell^q\)，有 \(\Vert f_y\Vert=\Vert y\Vert_q\)。我们考虑 \(X'\) 的子空间 \(M=\{e_n,n\ge1\}\)，其中 \(e_n=(...,0,1,0,...)\) 表示只有第 \(n\) 个分量为 1，其余为 0。那么 \(\overline{\text{span}M}=X'\)，因此要想验证 \(x_n\) 是否弱收敛到 \(x\) 就只需要验证：1）其有界性；2）对每个 \(f_{e_k},k\ge1\) 是否有 \(f_{e_k}(x_n)\to f_{e_k}(x)(n\to\infty).\)

强收敛与弱收敛之间有如下关系：

• \(x_n\to x \Longrightarrow x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x\)(即强收敛可以导出弱收敛)；
• 若 \(\text{dim}X<\infty\)，则 \(x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x\Longrightarrow x_n\to x\)(有限维赋范空间中，强收敛与弱收敛等价)；

证明：仅证第二条。设 \(\text{dim}X=n<\infty\)，有限维赋范空间中我们可以找到一组基，\(x_k=\lambda_{k,1}e_1+\cdots+\lambda_{k,n}e_n\)，\(x=\lambda_1 e_1+\cdots+\lambda_n e_n\)。那么 \[ \lambda_{k,1}f(e_1)+\cdots+\lambda_{k,n}f(e_n) \to \lambda_{1}f(e_1)+\cdots+\lambda_{n}f(e_n), \quad\forall f\in X' \] 由于 \(f\in X'\) 任取，那么我们可以取 \(f_i(y)=\mu_i\)，其中 \(y=\mu_1 e_1+\cdots+\mu_n e_n\)，即 \(f_i\) 取出来第 \(i\) 个坐标系数。由此可以得到 \(\lambda_{k,i}\to\lambda_i(k\to\infty)\)，然后就容易得到 \(x_n\to x.\) 证毕。

例子 2：有些无穷维空间中也可以得到 \(x_n \stackrel{w}{\longrightarrow} x\iff x_n\to x\)，例如 \(\ell^1.\)

例子 3：无穷维 Hilbert 空间（\(\ell^2\)，注意只有 \(2-\)范数才能定义出对应的内积），考虑 \(\{e_1,e_2,\ldots\}\) 为 \(H\) 的标准正交集，那么有 \(e_n \stackrel{w}{\longrightarrow} 0\) 但是 \(e_n \nrightarrow 0\)。考虑 \(\forall f\in H'\)，存在唯一的 \(z_0\in H, f(x)=\langle x,z_0\rangle\)，由Bessel方程 \(\sum_n|\langle e_n,z_0\rangle|^2\le \Vert z_0\Vert^2\)，因此 \(f(e_n)\to 0(n\to \infty),\forall f\in H'\)，但另一方面 \(\Vert e_n\Vert=1\nrightarrow0\)。

2. 线性泛函收敛性

对于算子的收敛性，如线性泛函 \(f_n\in X'\) 或者有界线性算子 \(T\in B(X,Y)\)，收敛性的定义跟上面序列的收敛性是相似的，但是又略有不同。下面就先给出线性泛函收敛性的分析。

同样考虑赋范空间 \(X\)，\(f,f_n\in X'\)，称 \(f_n\) 弱星收敛到 \(f\)，若任取 \(x\in X\) 都有 \(f_n(x)\to f(x)\)，记为 \(f_n \stackrel{w\star}{\longrightarrow} f.\)

NOTE：实际上这里的弱星收敛跟序列的弱收敛是完全对称的，因此他们的性质也是类似的。

• 弱星收敛极限 \(f\) 唯一；
• \(\{f_n\}\) 的任意子列均弱星收敛到 \(f\)；
• 若 \(X\) 为 Banach 空间，则 \(\{f_n\}\) 在 \(X'\) 中为有界集。

证明：仅证第三条，对于任意 \(x\in X\)，有 \(f_n(x)\to f(x)\)，因此 \(f_n(x)\) 有界，由一致有界性原理，\(\sup_n \Vert f_n\Vert<\infty.\) 证毕。

定理：\(X\) 为 Banach 空间，\(f_n,f\in X'\)，则 \(f_n \stackrel{w\star}{\longrightarrow} f\) 当且仅当：

1. 存在 \(c\ge0,\Vert f_n\Vert\le c\)；
2. 并且存在 \(M\subset X,\overline{\text{span}M}=X\)，对 \(\forall x\in M, f_n(x)\to f(x).\)

NOTE：该性质与序列弱收敛的性质完全对称，证明省略。

NOTE：对于 \(X'\) 中的线性算子 \(f\)，也有范数的定义，因此我们也可以按照序列的收敛性来定义算子的收敛性。这个时候就用 \(X'\) 代替上面的 \(X\)，用 \(X''\) 代替上面的 \(X'\)。我们可以得到什么样的强收敛和弱收敛定义呢？（下面并不是标准的数学定义，只是我为了引出之后的内容做的解释）

对于 \(f,f_n\in X'\)，若满足 \(\Vert f_n-f\Vert\to 0\)，则称 \(f_n\) 一致收敛到 \(f\)；若对 \(\forall g\in X''\)，都有 \(g(f_n)\to g(f)\)，那么称 \(f_n\) 强收敛到 \(f\)；弱收敛的定义暂且不管。

注意从这个定义的字面意思来看，这里的一致收敛对应于上面序列的强收敛；这里的强收敛对应上面序列的弱收敛，它实际上也就对应于弱星收敛。这里就有两个值得思考的问题：1）一致收敛和强收敛的区别是什么？2）这里的强收敛为什么对应上面的弱收敛？

先看第2个问题：讲 Hahn-Banach 定理应用的时候我们讲到了典范映射，如果 \(X\) 为自反的，那么任意一个 \(g_0\in X''\) 都唯一的对应于 \(X\) 中的元素 \(x_0\)，并且满足 \(g_0(f)=f(x_0),\forall f\in X'\)。假设 \(X\) 是自反的，那么上面的强收敛定义就可以表述为 \(\forall x\in X\)，都有 \(f_n(x)\to f(x)\)，注意看！这是不是就是线性泛函弱星收敛的定义！也对应了序列的弱收敛。不过弱星收敛的定义里面并没有要求 \(X\) 是自反的。

那么再看第1个问题：一致收敛中要求 \(\Vert f_n-f\Vert\to0\)，线性算子的范数是针对整个源空间考虑的；而强收敛中对每个 \(x\in X\)，关注 \(f_n(x)\to f(x)\)，也就是说关注的是每一个局部点。因此一致收敛要强于强收敛。

3. 一般有界线性算子收敛性

实际上一致收敛、强收敛、弱收敛的概念可以扩展到任意的有界线性算子定义。

设 \(X,Y\) 为赋范空间，\(T_n\in B(X,Y),T:X\to Y\) 为线性算子，有三种收敛性：

• \(\{T_n\}\) 一致收敛到 \(T\)，若 \(\Vert T_n-T\Vert \to 0\)；
• \(\{T_n\}\) 强收敛到 \(T\)，若 \(\forall x\in X,T_n x\to Tx\)；
• \(\{T_n\}\) 弱收敛到 \(T\)，若任取 \(x\in X, f\in Y'\)，\(f(T_nx)\to f(Tx)\)。

容易看出来一致收敛 \(\Longrightarrow\) 强收敛 \(\Longrightarrow\) 弱收敛，但是反向则不成立，可以举出对应的反例。

例子 4(强收敛 \(\nRightarrow\) 一致收敛)：\(X=Y=\ell^2\)，\(T_n:\ell^2\to\ell^2\) 有 \[ T_n: (x_1,x_2,\cdots) \mapsto (0,\cdots,0,x_{n+1},x_{n+2},\cdots) \] 容易验证 \(T_n\) 为有界线性算子，\(\Vert T_n\Vert=1\)。可以验证 \(T_n\) 强收敛到 \(0\) 算子，即 \(T_0x\equiv 0\)。但是 \(\Vert T_n-T_0\Vert=1\nrightarrow 0\)，即不满足一致收敛。

例子 5(弱收敛 \(\nRightarrow\) 强收敛)：\(X=Y=\ell^2\)，\(T_n:\ell^2\to\ell^2\) 有 \[ T_n:(x_1,x_2,\cdots)\mapsto(0_1,\cdots,0_n,x_1,x_2,\cdots) \] 可以验证 \(T_n\) 为有界线性算子，并且 \(\Vert T_n\Vert=1\)。是否有 \(T_n\) 弱收敛到某个 \(T\) 呢？考虑任意 \(f\in(\ell^2)'\)，都存在唯一的 \(z\in\ell^2\)，\(f(x)=\langle x,z\rangle\)，所以 \(f(T_nx)=x_1\overline{z_{n+1}}+x_2\overline{z_{n+2}}+\cdots\)，因此 \[ |f(T_nx)|\le\sum_{k=1}^\infty |x_k|\cdot|z_{n+k}| \le \Vert x\Vert\left(\sum_{k=n+1}^\infty |z_k|^2\right)^{1/2} \to 0 \] 所以有 \(f(T_nx) \to 0\) 对任意 \(f\in (\ell^2)'\) 成立，因此 \(f(T_nx)\to f(T_0x)\equiv f(0)=0\)。所以 \(T_n\) 弱收敛到 \(T_0=0\) 算子，但是总有 \(\Vert T_nx\Vert=\Vert x\Vert\nrightarrow 0\)，因此 \(T_nx\nrightarrow T_0x\)，即不满足强收敛。

命题：对于一般有界线性算子，若 \(T_n\) 一致收敛到 \(T\)，则 \(T\) 也是有界的，这是因为 \(\Vert T\Vert\le \Vert T-T_n\Vert+\Vert T_n\Vert \le \infty\)；若只能得到 \(T_n\) 强收敛到 \(T\)，那么 \(T\) 不一定是有界的。

例子 6(强收敛极限未必有界)：\(X=Y=\{(x_n),\exists N,\forall n\ge N, x_n=0 \}\)，考虑 \(T_n:X\to Y\) 有 \[ \begin{aligned} T_n:& (x_1,x_2,\cdots)\mapsto (x_1,2x_2,\cdots,nx_n,x_{n+1},x_{n+2},\cdots) \\ T:& (x_1,x_2,\cdots)\mapsto (x_1,2x_2,\cdots) \end{aligned} \] 那么 \(\Vert T_n\Vert=n\)，取可以验证对于 \(\forall x\in X\)，\(T_nx\to Tx\)，即 \(T_n\) 强收敛到 \(T\)，但是 \(T\) 不是有界算子。

那么什么情况下可以保证强/弱收敛极限也是有界算子呢？

定理：设 \(X\) 为 Banach 空间，\(Y\) 为赋范空间，\(T_n\in B(X,Y),T:X\to Y\) 为线性算子。设 \(T_n\) 弱收敛到 \(T\)，则 \(\sup_{n\ge1}\Vert T_n\Vert < \infty, T\in B(X,Y)\) 并且 \(\Vert T\Vert \le \sup_{n\ge1}\Vert T_n\Vert <\infty.\)

证明：由于 \(T_n\) 弱收敛到 \(T\)，即 \(\forall x\in X,f\in Y'\) 都有 \(f(T_nx)\to f(Tx)\)，因此有 \(T_nx \stackrel{w}{\longrightarrow} Tx\)。那么根据序列弱收敛的性质，存在 \(c_x\) 满足 \(\sup_n \Vert T_nx\Vert \le c_x\)，再由一致有界性原理，有 \(\sup_n \Vert T_n\Vert < \infty\)。

然后考虑 \(T\)，\(\forall x\in X\)，由 Hahn-Banach 定理的推论，都存在 \(f\in Y',\Vert f\Vert=1\) 满足 \[ \Vert Tx\Vert=|f(Tx)| = \lim_{n\to\infty} |f(T_nx)| \le \lim_{n\to\infty}\Vert T_nx\Vert \] 因此 \(\Vert T\Vert\le \sup_n\Vert T_n\Vert.\) 证毕。

定理：设 \(X\) 为 Banach 空间，\(Y\) 为赋范空间，\(T_n,T\in B(X,Y)\)，则 \(T_n\) 强收敛到 \(T\) 当且仅当：

1. \(\sup_n \Vert T_n\Vert < \infty\)；
2. 存在 \(M\subset X,\overline{\text{span}M}=X\)，对 \(\forall x\in M, T_n(x)\to T(x).\)

NOTE：这跟线性泛函弱星收敛的等价条件是完全一样的，证明省略。

4. 应用举例

例子 7(求积分的数值方法)：考虑实值函数 \(x\in C[a,b]\)，并赋予无穷范数，那么 \((C[a,b],\Vert\cdot\Vert)\) 为 Banach 空间，求 \(\int_a^b x(t)dt.\)

既然是在本节举的这个例子，那就要用到算子收敛性。先定义有界线性算子 \(f(x)=\int_a^b x(t)dt\)，\(\Vert f\Vert=b-a\)。我们现在的目标就是找一列有界线性泛函 \(f_n\) 弱收敛到 \(f\)。回忆我们在学微积分的时候，往往是用分段的矩形面积求和来逼近积分。在 \([a,b]\) 上取 \(n+1\) 个结点 \(a=t_{n,0}<t_{n,1}<\cdots<t_{n,n}=b\)，再取 \(n+1\) 个实数 \(a_{n,0},\cdots,a_{n,n}\)，令 \[ f_n(x) = \sum_{k=0}^n a_{n,k} x(t_{n,k}) \] \(f_n\) 是 \(C[a,b]\) 上的线性泛函，并且 \(\Vert f_n\Vert \le \sum_{k=0}^n|a_{n,k}|\)，另外我们总能够造出一个 \(x\in C[a,b]\) 满足 \(x(t_{n,k})=\text{sgn}(a_{n,k})\) 并且 \(\Vert x\Vert_\infty=1\)，此时就有 \(f(x)=\sum_{k=0}^n|a_{n,k}|\)，于是可以得到 \(\Vert f_n\Vert = \sum_{k=0}^n|a_{n,k}|\)。现在的问题就是我们能否找到合适的系数 \(a_{n,k}\) 使得 \(f_n\stackrel{w}{\longrightarrow} f\) ？

这里我们提出一个额外的要求，就是对于次数小于 \(n\) 的多项式 \(p\)，需要 \(f_n(p)\) 能获得精确积分结果，即 \(f_n(p)=\int_a^b p(t)dt\)。由于 \(\{1,t,\ldots,t^n\}\) 构成次数小于 \(n\) 的多项式空间的 Hamel 基，所以只需要验证对每个基有 \(f_n(e_k)= f(e_k)\) 即可。这就要求 \[ \begin{cases} \begin{matrix} a_{n,0} & + & a_{n,1} & + & \cdots & + & a_{n,n} & = & b-a \\ a_{n,0}t_{n,0} & + & a_{n,1}t_{n,1} & + & \cdots & + & a_{n,n}t_{n,n} & = & \frac{b^2-a^2}{2} \\ & & & & \ldots & \\ a_{n,0}t_{n,0}^n & + & a_{n,1}t_{n,1}^n & + & \cdots & + & a_{n,n}t_{n,n}^n & = & \frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1} \end{matrix} \end{cases} \] 上式左侧可以用 Vandermonde 矩阵表示，因此存在唯一解 \(a_{n,k},k=1,...,n\)。

接下来对于任意的 \(x\in C[a,b]\)，能否找到 \(a_{n,k}\) 满足的条件使得 \(f_n(x)\to f(x)\) 呢？根据 Stone-Weierstrass 定理，多项式的集合在 \(C[a,b]\) 中是稠密的，因此对于任意次数 \(N\) 的多项式 \(p\) 总有 \(f_n(p)\to f(p)\)。那么再应用前面的定理（即只需要判断完全集 \(M\subset X\) 中的元素是否满足条件即可），可以有如下结论

定理(G.Polya)：设数值积分 \(f_n\) 满足前面对于有限次多项式的要求（即 \(a_{n,k}\) 为 Vandermonde 矩阵方程的解）则任取 \(x\in C[a,b],f_n(x)\to f(x)\) 当且仅当存在常数 \(C\ge0\)，使得任取 \(n\ge1\)，有 \(\sum_{k=1}^na_{n,k}\le C.\)