泛函分析笔记7：弱收敛与弱星收敛

一致有界性原理的一个应用就是序列和算子的收敛性分析。

1. 序列收敛性

$(X,\Vert \cdot \Vert )$，有 $x_n,x\in X$，称 $x_n$ 强收敛到 $x$，若 $\Vert x_n-x\Vert \to 0$；称 $x_n$ 弱收敛到 $x$ 若 $\mathrm{\forall }f\in X^{\prime }$ 都有 $f(x_n)\to f(x)$，记为 $x_n\stackrel{w}{⟶}x.$

关于弱收敛有以下几条性质：

• 若 $x_n\stackrel{w}{⟶}x,x_n\stackrel{w}{⟶}y$，则 $x=y$；
• 若 $x_n\stackrel{w}{⟶}x$，则存在 $c\ge 0,\Vert x_n\Vert \le c.$

证明：仅证第二条。这个性质说明 $$ 有界，因此容易想到需要用一致有界性原理证明，但是该原理说明的是算子的一致有界，这里是元素 $$ 有界，因此又可以想到上一篇讲到的典范映射 $$ 从元素映射到算子。因此这里考虑 $$ 上的线性泛函 $$，有 $$ 于是有 $$，因而固定任一 $$，都有 $$，同时由于 $$ 总为 Banach 空间，利用一致有界性原理有 $$。证毕。

定理：$$，有 $$，则 $$ 当且仅当：

1. 存在 $$；
2. 并且存在 $$，对 $$（此时 $$ 称为完全集）

NOTE：该定理简化了弱收敛的判断条件，只需要在 $$ 的一个子集上判断函数值是否收敛。

证明：$$ 易证；

$$，首先考虑 $$，容易得到 $$。然后对 $$，那么存在 $$ 使得 $$，因此 $$ 证毕。

例子 1：考虑 $$，有 $$ 考虑线性泛函 $$，有 $$。我们考虑 $$ 的子空间 $$，其中 $$ 表示只有第 $$ 个分量为 1，其余为 0。那么 $$，因此要想验证 $$ 是否弱收敛到 $$ 就只需要验证：1）其有界性；2）对每个 $$ 是否有 $$

强收敛与弱收敛之间有如下关系：

• $$(即强收敛可以导出弱收敛)；
• 若 $$，则 $$(有限维赋范空间中，强收敛与弱收敛等价)；

证明：仅证第二条。设 $$，有限维赋范空间中我们可以找到一组基，$$，$$。那么 $$ 由于 $$ 任取，那么我们可以取 $$，其中 $$，即 $$ 取出来第 $$ 个坐标系数。由此可以得到 $$，然后就容易得到 $$ 证毕。

例子 2：有些无穷维空间中也可以得到 $$，例如 $$

例子 3：无穷维 Hilbert 空间（$$，注意只有 $$范数才能定义出对应的内积），考虑 $$ 为 $$ 的标准正交集，那么有 $$ 但是 $$。考虑 $$，存在唯一的 $$，由Bessel方程 $$，因此 $$，但另一方面 $$。

2. 线性泛函收敛性

对于算子的收敛性，如线性泛函 $$ 或者有界线性算子 $$，收敛性的定义跟上面序列的收敛性是相似的，但是又略有不同。下面就先给出线性泛函收敛性的分析。

同样考虑赋范空间 $$，$$，称 $$ 弱星收敛到 $$，若任取 $$ 都有 $$，记为 $$

NOTE：实际上这里的弱星收敛跟序列的弱收敛是完全对称的，因此他们的性质也是类似的。

• 弱星收敛极限 $$ 唯一；
• $$ 的任意子列均弱星收敛到 $$；
• 若 $$ 为 Banach 空间，则 $$ 在 $$ 中为有界集。

证明：仅证第三条，对于任意 $$，有 $$，因此 $$ 有界，由一致有界性原理，$$ 证毕。

定理：$$ 为 Banach 空间，$$，则 $$ 当且仅当：

1. 存在 $$；
2. 并且存在 $$，对 $$

NOTE：该性质与序列弱收敛的性质完全对称，证明省略。

NOTE：对于 $$ 中的线性算子 $$，也有范数的定义，因此我们也可以按照序列的收敛性来定义算子的收敛性。这个时候就用 $$ 代替上面的 $$，用 $$ 代替上面的 $$。我们可以得到什么样的强收敛和弱收敛定义呢？（下面并不是标准的数学定义，只是我为了引出之后的内容做的解释）

对于 $$，若满足 $$，则称 $$ 一致收敛到 $$；若对 $$，都有 $$，那么称 $$ 强收敛到 $$；弱收敛的定义暂且不管。

注意从这个定义的字面意思来看，这里的一致收敛对应于上面序列的强收敛；这里的强收敛对应上面序列的弱收敛，它实际上也就对应于弱星收敛。这里就有两个值得思考的问题：1）一致收敛和强收敛的区别是什么？2）这里的强收敛为什么对应上面的弱收敛？

先看第2个问题：讲 Hahn-Banach 定理应用的时候我们讲到了典范映射，如果 $$ 为自反的，那么任意一个 $$ 都唯一的对应于 $$ 中的元素 $$，并且满足 $$。假设 $$ 是自反的，那么上面的强收敛定义就可以表述为 $$，都有 $$，注意看！这是不是就是线性泛函弱星收敛的定义！也对应了序列的弱收敛。不过弱星收敛的定义里面并没有要求 $$ 是自反的。

那么再看第1个问题：一致收敛中要求 $$，线性算子的范数是针对整个源空间考虑的；而强收敛中对每个 $$，关注 $$，也就是说关注的是每一个局部点。因此一致收敛要强于强收敛。

3. 一般有界线性算子收敛性

实际上一致收敛、强收敛、弱收敛的概念可以扩展到任意的有界线性算子定义。

设 $$ 为赋范空间，$$ 为线性算子，有三种收敛性：

• $$ 一致收敛到 $$，若 $$；
• $$ 强收敛到 $$，若 $$；
• $$ 弱收敛到 $$，若任取 $$，$$。

容易看出来一致收敛 $$ 强收敛 $$ 弱收敛，但是反向则不成立，可以举出对应的反例。

例子 4(强收敛 $$ 一致收敛)：$$，$$ 有 $$ 容易验证 $$ 为有界线性算子，$$。可以验证 $$ 强收敛到 $$ 算子，即 $$。但是 $$，即不满足一致收敛。

例子 5(弱收敛 $$ 强收敛)：$$，$$ 有 $$ 可以验证 $$ 为有界线性算子，并且 $$。是否有 $$ 弱收敛到某个 $$ 呢？考虑任意 $$，都存在唯一的 $$，$$，所以 $$，因此 $$ 所以有 $$ 对任意 $$ 成立，因此 $$。所以 $$ 弱收敛到 $$ 算子，但是总有 $$，因此 $$，即不满足强收敛。

命题：对于一般有界线性算子，若 $$ 一致收敛到 $$，则 $$ 也是有界的，这是因为 $$；若只能得到 $$ 强收敛到 $$，那么 $$ 不一定是有界的。

例子 6(强收敛极限未必有界)：$$，考虑 $$ 有 $$ 那么 $$，取可以验证对于 $$，$$，即 $$ 强收敛到 $$，但是 $$ 不是有界算子。

那么什么情况下可以保证强/弱收敛极限也是有界算子呢？

定理：设 $$ 为 Banach 空间，$$ 为赋范空间，$$ 为线性算子。设 $$ 弱收敛到 $$，则 $$ 并且 $$

证明：由于 $$ 弱收敛到 $$，即 $$ 都有 $$，因此有 $$。那么根据序列弱收敛的性质，存在 $$ 满足 $$，再由一致有界性原理，有 $$。

然后考虑 $$，$$，由 Hahn-Banach 定理的推论，都存在 $$ 满足 $$ 因此 $$ 证毕。

定理：设 $$ 为 Banach 空间，$$ 为赋范空间，$$，则 $$ 强收敛到 $$ 当且仅当：

1. $$；
2. 存在 $$，对 $$

NOTE：这跟线性泛函弱星收敛的等价条件是完全一样的，证明省略。

4. 应用举例

例子 7(求积分的数值方法)：考虑实值函数 $$，并赋予无穷范数，那么 $$ 为 Banach 空间，求 $$

既然是在本节举的这个例子，那就要用到算子收敛性。先定义有界线性算子 $$，$$。我们现在的目标就是找一列有界线性泛函 $$ 弱收敛到 $$。回忆我们在学微积分的时候，往往是用分段的矩形面积求和来逼近积分。在 $$ 上取 $$ 个结点 $$，再取 $$ 个实数 $$，令 $$ $$ 是 $$ 上的线性泛函，并且 $$，另外我们总能够造出一个 $$ 满足 $$ 并且 $$，此时就有 $$，于是可以得到 $$。现在的问题就是我们能否找到合适的系数 $$ 使得 $$ ？

这里我们提出一个额外的要求，就是对于次数小于 $$ 的多项式 $$，需要 $$ 能获得精确积分结果，即 $$。由于 $$ 构成次数小于 $$ 的多项式空间的 Hamel 基，所以只需要验证对每个基有 $$ 即可。这就要求 $$ 上式左侧可以用 Vandermonde 矩阵表示，因此存在唯一解 $$。

接下来对于任意的 $$，能否找到 $$ 满足的条件使得 $$ 呢？根据 Stone-Weierstrass 定理，多项式的集合在 $$ 中是稠密的，因此对于任意次数 $$ 的多项式 $$ 总有 $$。那么再应用前面的定理（即只需要判断完全集 $$ 中的元素是否满足条件即可），可以有如下结论

定理(G.Polya)：设数值积分 $$ 满足前面对于有限次多项式的要求（即 $$ 为 Vandermonde 矩阵方程的解）则任取 $$ 当且仅当存在常数 $$，使得任取 $$，有 $$