凸优化笔记 9：广义凸函数

有时候函数 \(f\) 为向量，此时怎么定义凸函数呢？根据广义不等式引入。

1. 广义单调函数

对于 \(f:R^n\to R\)，定义其单调性为存在正常锥 \(K\subseteq R^n\)，有

• K-nondecreasing \(\iff \forall x\preceq_K y,\quad f(x)\le f(y)\)
• K-nonincreasing $$

实际上相当于在定义域中规定了一个序关系，但是注意这种序关系并不是完全的，也就是说有可能有 \(x\preceq_K y, y\preceq_K x\) 都不成立，意味着有可能定义域中的两个元素之间是不可“比大小的”。

对于广义单调函数的判定有以下性质

\(f\) K-nondecreasing \(\iff \nabla f(x)\succeq_{K^*}0,\forall x\in \text{dom}f\)

证明只需要将其转化为一维情形即可，可以用反证法。

2. 广义凸函数

对于 \(f:R^n\to R^m\)，凸函数定义为关于正常锥 \(K\subseteq R^m\) \[ f(\theta x+(1-\theta)y) \preceq_K \theta f(x)+(1-\theta)f(y) \] 例子

• \(f:S^n_+\to S^n_+,f(X)=X^2\)

广义凸函数有下面的性质

\(f\) 为 K-convex \(\iff \omega^T f(x)\) convex，对任意 \(\omega\succeq_{K^*}0\)

Remarks：只需要考虑 \(g(x)=\omega^T f(x)\) 就转化为了普通凸函数，实际上相当于 \(\omega\in K^*\) 确定了沿某个方向上的序关系。