模糊数学笔记 4：模糊关系

1. 模糊关系

定义：模糊关系 的隶属函数 ，其中 表示 具有关系 的程度

Remarks：实际上模糊关系 就是定义在一个笛卡尔积的论域 上的模糊关系，与之前介绍的普通的模糊关系并无太大差别。

基本运算定义为：

• 并：
• 交：
• 补：$$
• 包含：$$
• 相等：$$

一些模糊关系有：

• 恒等模糊关系：$$
• 零模糊关系：$$
• 全称模糊关系：$$

2. 模糊矩阵

2.1 定义

对于有限论域 $$，模糊矩阵的定义很容易可以获得 $$

当 $$ 的对角元素全部为 1 时，称为模糊自反矩阵

模糊矩阵对应于集合的运算定义为：

• 并：$$
• 交：$$
• 补：$$
• 包含：$$
• 相等：$$

2.2 运算性质

2.3 截矩阵

截矩阵的定义为 $$，其中 $$

Remarks：截矩阵的定义对应着截集的概念，截集得到的是普通集合，响应的截矩阵也是布尔矩阵，完全没有不确定度。

2.4 模糊关系合成

转置：略

模糊乘积：设 $$，定义 $$，有 $$

Remarks：模糊乘积实际上表示了两个模糊关系的复合，即 $$，最后合成了模糊关系 $$。从公式上来看，模糊矩阵的乘积跟普通矩阵的乘积很像，只不过乘法换成了 $$，加法换成了 $$。

模糊关系的合成具有以下性质：

3. 模糊关系性质

3.1 自反性、对称性、传递性

就像普通集合的关系一样，模糊集合有三个重要性质：自反性、对称性、传递性。

自反性：若 $$，则称 $$ 满足自反性，相应的有模糊矩阵 $$

定理 1：若 $$ 为自反矩阵，则有 $$ 对称性：若 $$，则称 $$ 满足对称性，相应的有模糊矩阵 $$

传递性：$$，则称 $$ 满足传递性，相应的有模糊矩阵 $$

定理 2：若 $$ 为传递矩阵，则有 $$

3.2 模糊相似关系与等价关系

模糊相似关系：$$，满足自反性和对称性 $$

模糊等价关系：$$，满足自反性、对称性和传递性 $$

定理：$$ 为等价关系 $$ 为等价关系 $$

Proof：若 $$ 为等价关系，则意味着 $$，若 $$。因此对于模糊矩阵来说，应有 $$。在此基础上易证充分必要性。

Remarks：这个定理将模糊等价关系转化为普通等价关系，而普通等价关系可以很容易分类。

3.3 对称闭包与传递闭包

对称闭包：设 $$，若 $$，且对任意包含 $$ 的对称关系 $$，都有 $$，则 $$ 为 $$ 的对称闭包，记为 $$。

实际上对称闭包就是包含 $$ 的最小的对称关系，很容易的有 $$

传递闭包：$$，且任意包含 $$ 的传递关系 $$ 都有 $$，则 $$ 为 $$ 的传递闭包，记为 $$。

传递闭包定理 1：$$

传递闭包定理 2：$$ （可以使用鸽巢原理，证明 $$）

传递闭包定理 3：相似矩阵 $$ 的传递闭包是等价矩阵，且 $$

传递闭包定理 4：相似矩阵 $$，则 $$

传递闭包定理 5：相似矩阵 $$，则 $$

Remarks：

• 定理 2 证明了传递闭包在实际中是可计算的
• 定理 3-5 中对相似矩阵求传递闭包就得到了等价矩阵，对后面的模糊据类很有用，因为模糊等价矩阵可以与普通等价矩阵联系起来，而若想进行分类，则必须依托于等价关系。