模糊数学笔记 2：贴近度

1. 贴近度

给定 \(A,B,C\in \mathcal{F}(U)\)，\(\sigma(*,*)\) 满足以下几个条件时，被称为贴近度

1. \(\sigma(A,A)=1\)
2. \(\sigma(A,B)=\sigma(B,A)\)
3. 若 \(A\subset B\subset C\)，则 \(\sigma(A,B)\ge\sigma(A,C),\sigma(B,C)\ge\sigma(A,C)\)
4. \(\sigma(U,\varnothing)=0\)

严格贴近度的定义为

1. \(\sigma(A,B)=1 \iff A=B\)
2. 上述 2.-4. 条

贴近度的例子：

• 严格贴近度：\(\sigma(A, B)=\frac{\sum_{n} a_{n} \wedge b_{n}}{\sum_n a_{n} \vee b_{n}}\)
• \(\sigma(A, B)=1-t\left(\sum_{1}^{n}\left|a_{k}-b_{k}\right|^{p}\right)^{q}\)
• \(\sigma(A, B)=\frac{\sum_{n} a_{n} \wedge b_{n}}{\sum_n (a_{n} + b_{n})/2}\)
• \(\sigma(A, B)=\exp\left(-t\left(\sum_{1}^{n}\left|a_{k}-b_{k}\right|^{p}\right)^{q}\right)\)

2. 内外积

2.1 定义

内积：\(A,B\in\mathcal{F}(U)\)，称 \(A\circ B=\underset{u \in U}{\vee}(A(u) \wedge B(u))\) 为 \(A,B\) 的内积

外积：\(A,B\in\mathcal{F}(U)\)，称 \(A \hat{\circ} B=\underset{u \in U}{\wedge}(A(u) \vee B(u))\) 为 \(A,B\) 的外积

Remarks：内外积本身并不是用来表述两个集合的相似程度的，就像向量的内外积，还与向量自身的模长有关。

2.2 性质

• \(A \hat{\circ} B = A^c\circ B^c,(A\circ B)^c=A^c \hat{\circ} B^c\)
• \(A {\circ} B\le \bar{a}\wedge\bar{b},A \hat{\circ} B\ge\underline{a}\vee\underline{b}\)
• \(A\circ A=\bar{a},A \hat{\circ} A=\underline{a}\)
• \(\underset{B \in \mathcal{F}(U)}{\vee}(A \circ B)=\bar{a}, \quad \underset{B \in \mathcal{F}(U)}{\wedge}\left(A {\hat{\circ}} B\right)=\underline{a}\)
• \(A \subseteq B \Rightarrow A \circ B=\bar{a}, A{\hat{\circ}} B=\underline{b}\)
• \(A \circ A^{c} \leq \frac{1}{2}, \quad A{\hat{\circ}} B \geq \frac{1}{2}\)
• \(A \subseteq B \Rightarrow A \circ C \leq B \circ C, A{\hat{\circ}} C \leq B{\hat{o}} C\)

3. 格贴近度

给定F集A，让F集B靠近A，会使内积增大而外积减少。即当内积较大且外积较小时，A与B比较贴近。 所以，以内外积相结合的“格贴近度”来刻 划两个F集的贴近程度。

格贴近度：\(N_{1}(A, B)=(A \circ B) \wedge\left(A\hat{\circ} B\right)^{c}\)

格贴近度有以下性质

• \(0\le N_1(A,B)\le1\)
• \(N_1(A,B)=N_1(B,A)\)
• \(N_1(A,A)=\bar{a}\wedge(1-\underline{a})\)
• \(A \subseteq B \subseteq C \Rightarrow N_1(A, C) \leq N_1(A, B) \wedge N_1(B, C)\)

Remarks：注意根据第 3 条性质可知，格贴近度并不适合描述两个模糊集的相似程度，比如 \(N_1(U,U)=0\)